ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.43 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Через точку \(A\), лежащую вне окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки \(A\) до точки касания равно \(16 \, \text{см}\), а до одной из точек пересечения секущей с окружностью — \(32 \, \text{см}\). Найдите радиус окружности, если секущая удалена от её центра на \(5 \, \text{см}\).

\( CE = 32 — 8 = 24 \)
\( AB^2 = AE \cdot AC \)
\( 16^2 = 32 \cdot (32 — CE) \)
\( CE = 24 \)
\( OB^2 = OC^2 + CH^2 \)
\( OB = \sqrt{25 + 144} = 13 \)

1. Найдем длину отрезка \( CE \):
\( CE = 32 — 8 = 24 \).

2. Используем теорему о секущей и касательной:
\( AB^2 = AE \cdot AC \),
где \( AB = 16 \), \( AE = 32 \), \( AC = 32 — CE \). Подставляем:
\( 16^2 = 32 \cdot (32 — CE) \),
\( 256 = 32 \cdot (32 — 24) \),
\( CE = 24 \).

3. Найдем радиус окружности \( OB \) с помощью теоремы Пифагора:
\( OB^2 = OC^2 + CH^2 \),
где \( OC = 5 \), \( CH = 12 \) (так как \( CH = CE / 2 \)). Подставляем:
\( OB^2 = 5^2 + 12^2 \),
\( OB^2 = 25 + 144 \),
\( OB = \sqrt{169} = 13 \).

Ответ: \( OB = 13 \).