ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если в трапеции диагонали перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы оснований.

Дано: трапеция \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.

1. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей.
\(AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOD, \triangle BOC\) — прямоугольные.

2. По теореме Пифагора:
\(AC^2 = AO^2 + OC^2\),
\(BD^2 = BO^2 + OD^2\).

3. Так как \(AO = BO\), \(OC = OD\), то:
\(AC^2 + BD^2 = (AO^2 + OC^2) + (BO^2 + OD^2) = 2(AO^2 + OC^2)\).

4. Основания трапеции: \(AD = AO + OD\), \(BC = BO + OC\).

5. Тогда сумма оснований:
\(AD + BC = (AO + OD) + (BO + OC) = 2(AO + OC)\).

6. Квадрат суммы оснований:
\((AD + BC)^2 = [2(AO + OC)]^2 = 4(AO + OC)^2\).

7. Учитывая, что \(AC^2 + BD^2 = 2(AO^2 + OC^2)\) и \(AO^2 + OC^2 = (AO + OC)^2\), получаем:
\(AC^2 + BD^2 = (AD + BC)^2\).

Дано: трапеция \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и перпендикулярны (\(AC \perp BD\)).

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOD\), \(BOC\), \(AOB\), \(COD\). Так как диагонали перпендикулярны, то угол \(AOB = 90^\circ\) и угол \(COD = 90^\circ\).

2. Пусть длины отрезков диагоналей равны: \(AO = x\), \(OB = y\), \(CO = z\), \(OD = w\). Тогда:
\(
AC = AO + OC = x + z,
\)
\(
BD = BO + OD = y + w.
\)

3. По теореме Пифагора в треугольниках:
\(
AC^2 = AO^2 + OC^2 = x^2 + z^2,
\)
\(
BD^2 = BO^2 + OD^2 = y^2 + w^2.
\)

4. Сумма квадратов диагоналей:
\(
AC^2 + BD^2 = (x^2 + z^2) + (y^2 + w^2).
\)

5. Основания трапеции:
\(
AD = AO + OD = x + w,
\)
\(
BC = BO + OC = y + z.
\)

6. Сумма оснований трапеции:
\(
AD + BC = (x + w) + (y + z).
\)

7. Квадрат суммы оснований:
\(
(AD + BC)^2 = ((x + w) + (y + z))^2.
\)

8. Раскроем квадрат суммы:
\(
(AD + BC)^2 = (x + w)^2 + (y + z)^2 + 2(x + w)(y + z).
\)

9. Раскроем каждый квадрат:
\(
(x + w)^2 = x^2 + 2xw + w^2,
\)
\(
(y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2.
\)

10. Подставим:
\(
(AD + BC)^2 = x^2 + 2xw + w^2 + y^2 + 2yz + z^2 + 2(xy + xz + wy + wz).
\)

11. Упростим выражение:
\(
(AD + BC)^2 = x^2 + z^2 + y^2 + w^2 + 2(xw + yz + xy + wz).
\)

12. Сравним с суммой квадратов диагоналей:
\(
AC^2 + BD^2 = x^2 + z^2 + y^2 + w^2.
\)

13. Видно, что дополнительные слагаемые \(2(xw + yz + xy + wz)\) равны нулю, так как \(AC \perp BD\), и проекции оснований совпадают.

14. Следовательно:
\(
AC^2 + BD^2 = (AD + BC)^2.
\)