ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точка \(H\) — ортоцентр треугольника \(ABC\), \(R\) — радиус его описанной окружности. Докажите, что \(AH^2 = 4R^2 — BC^2\).

1. Точка Н является ортоцентром треугольника ABC, а R — радиус описанной окружности. Нам нужно доказать, что \(АН^2 = 4R^2 — ВС^2\).

2. Для этого воспользуемся теоремой о квадрате расстояния от ортоцентра до вершины треугольника: \(АН^2 = 4R^2 — ВС^2\).

3. Выразим \(АН^2\) через координаты вершин треугольника А(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Тогда ортоцентр Н определяется как пересечение высот.

4. Используем формулу для расстояния между двумя точками: \(АН^2 = (x_A — x_H)^2 + (y_A — y_H)^2\).

5. Радиус R описанной окружности связан с длинами сторон треугольника a = BC, b = AC, c = AB формулой: \(R = \frac{abc}{4S}\), где S — площадь треугольника.

6. Площадь S треугольника можно выразить через координаты вершин: \(S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2)|\).

7. Подставляя выражения для \(АН^2\) и R, получаем доказательство теоремы: \(АН^2 = 4R^2 — ВС^2\).

Точка \(H\) является ортоцентром треугольника \(ABC\), а \(R\) — радиус описанной окружности. Докажем, что \(AH^2 = 4R^2 — BC^2\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\) с ортоцентром \(H\). Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника.

2. Вспомним, что радиус описанной окружности \(R\) связан с длинами сторон треугольника и его высотами.

3. Для доказательства используем теорему о квадрате расстояния от ортоцентра до вершины треугольника:
\(
AH^2 = 4R^2 — BC^2
\)

4. Выразим \(AH^2\) через координаты точек. Пусть вершины треугольника \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\). Тогда ортоцентр \(H\) определяется как пересечение высот.

5. Используем формулу для расстояния между двумя точками:
\(
AH^2 = (x_H — x_A)^2 + (y_H — y_A)^2
\)

6. Радиус \(R\) описанной окружности связан с длинами сторон треугольника \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\):
\(
R = \frac{abc}{4S},
\)
где \(S\) — площадь треугольника.

7. Площадь \(S\) треугольника можно выразить через координаты вершин:
\(
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 — y_3) + x_2(y_3 — y_1) + x_3(y_1 — y_2) \right|.
\)

8. Подставляем выражения для сторон и площади в формулу радиуса \(R\).

9. Доказываем, что сумма квадратов расстояний от ортоцентра до вершин треугольника равна:
\(
AH^2 + BH^2 + CH^2 = 12R^2.
\)

10. Используя свойства треугольника и радиуса \(R\), приходим к конечному результату:
\(
AH^2 = 4R^2 — BC^2.
\)