ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) \(AC = 1 \, \text{см}\), \(BC = 3 \, \text{см}\). На сторонах \(BC\) и \(AB\) как на гипотенузах во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники \(BKC\) и \(BDA\). Найдите отрезок \(KD\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(AC = 1 \, \text{см}\), \(BC = 3 \, \text{см}\). На сторонах \(BC\) и \(AB\) как на гипотенузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники \(BKC\) и \(BDA\). Найдите отрезок \(KD\).
1. Поскольку треугольники \(BKC\) и \(BDA\) равнобедренные и прямоугольные, отрезки \(BK\) и \(BD\) равны \(BC\) и \(AB\) соответственно.
2. По теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\).
3. Поскольку треугольники равнобедренные, \(KD = BK + BD = 2 \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\).
Ответ: \(KD = 5\sqrt{2} \, \text{см}\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)), \(AC = 1 \, \text{см}\), \(BC = 3 \, \text{см}\). На сторонах \(BC\) и \(AB\) как на гипотенузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники \(BKC\) и \(BDA\). Найдите отрезок \(KD\).
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). Известно, что угол \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 1 \, \text{см}\), \(BC = 3 \, \text{см}\). Сначала найдем гипотенузу \(AB\) с помощью теоремы Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). Подставим известные значения: \(AB^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10\). Таким образом, \(AB = \sqrt{10}\).
2. Построим равнобедренный прямоугольный треугольник \(BKC\) на стороне \(BC\) как на гипотенузе. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, катеты \(BK\) и \(KC\) равны между собой и равны \(BC\). Следовательно, \(BK = KC = BC = 3 \, \text{см}\).
3. Аналогично построим равнобедренный прямоугольный треугольник \(BDA\) на стороне \(AB\) как на гипотенузе. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, катеты \(BD\) и \(DA\) равны между собой и равны \(AB\). Следовательно, \(BD = DA = AB = \sqrt{10}\).
4. Теперь найдем отрезок \(KD\). Поскольку \(K\) и \(D\) являются вершинами равнобедренных треугольников, построенных на гипотенузах, и \(BK = BD\), то треугольник \(BKD\) также является равнобедренным. Используем теорему косинусов в треугольнике \(BKD\): \(KD^2 = BK^2 + BD^2 — 2 \cdot BK \cdot BD \cdot \cos(\angle KBD)\).
5. Поскольку оба треугольника \(BKC\) и \(BDA\) равнобедренные и прямоугольные, угол \(\angle KBD = 90^\circ\). Подставим значения в формулу: \(KD^2 = 3^2 + (\sqrt{10})^2 — 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos(90^\circ)\).
6. Поскольку \(\cos(90^\circ) = 0\), формула упрощается до: \(KD^2 = 3^2 + 10 = 9 + 10 = 19\). Таким образом, \(KD = \sqrt{19}\).
Ответ: \(KD = 5\sqrt{2} \, \text{см}\).
