ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На гипотенузе \(AB\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) отметили точки \(M\) и \(N\) так, что \(\angle MCN = 45^\circ\) (\(AM < AN\)). Докажите, что \(AM^2 + BN^2 = MN^2\).

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный, \( AB \) — гипотенуза, \( \angle MCN = 45^\circ \), \( AM < AN \).
Док-во:

1. \( AC = BC \), так как \( \triangle ABC \) равнобедренный.
2. \( \angle MCB = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ \), так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
3. \( \triangle MCN \) — прямоугольный, так как \( \angle MCN = 45^\circ \).
4. По теореме Пифагора:
\( AM^2 + BN^2 = MN^2 \).

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный, \( AB \) — гипотенуза, \( \angle MCN = 45^\circ \), \( AM < AN \).
Док-во:

1. В треугольнике \( \triangle ABC \) известно, что он равнобедренный прямоугольный. Это означает, что катеты \( AC \) и \( BC \) равны:
\( AC = BC \).

2. Пусть точки \( M \) и \( N \) расположены на гипотенузе \( AB \) так, что \( \angle MCN = 45^\circ \). Согласно условию, \( AM < AN \).

3. Рассмотрим треугольник \( \triangle MCN \). Угол \( \angle MCN = 45^\circ \), а так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), то:
\( \angle MCB = 90^\circ — 45^\circ = 45^\circ \).

4. Таким образом, треугольник \( \triangle MCN \) является равнобедренным прямоугольным, где \( MC = CN \).

5. Применим теорему Пифагора для треугольника \( \triangle MCN \):
\( MN^2 = MC^2 + CN^2 \).

6. Так как \( MC = CN \), то:
\( MN^2 = MC^2 + MC^2 = 2MC^2 \).

7. Теперь рассмотрим точки \( M \) и \( N \) на гипотенузе \( AB \). Пусть \( AM = x \), \( BN = y \), тогда длина гипотенузы \( AB \) равна \( x + y \).

8. Используем свойства прямоугольного треугольника \( \triangle ABC \). По теореме Пифагора:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

9. Так как \( AC = BC \), то:
\( AB^2 = 2AC^2 \).
Следовательно, \( AC^2 = \frac{AB^2}{2} \).

10. Точки \( M \) и \( N \) делят гипотенузу \( AB \) на отрезки \( AM \), \( MN \), \( BN \). Для доказательства равенства \( AM^2 + BN^2 = MN^2 \) используем координатный метод.

11. Выберем систему координат так, чтобы \( A(0, 0) \), \( B(c, 0) \), \( C(0, c) \). Тогда гипотенуза \( AB \) описывается уравнением \( y = -x + c \).

12. Точки \( M \) и \( N \) лежат на этой прямой. Пусть \( M(x_1, y_1) \), \( N(x_2, y_2) \). Координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой \( y = -x + c \).

13. Расстояние \( AM \) вычисляется как:
\( AM = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \).

14. Расстояние \( BN \) вычисляется как:
\( BN = \sqrt{(c — x_2)^2 + y_2^2} \).

15. Расстояние \( MN \) вычисляется как:
\( MN = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).

16. Подставим значения \( y_1 = -x_1 + c \) и \( y_2 = -x_2 + c \) в формулы для \( AM \), \( BN \), \( MN \). После упрощений получаем:
\( AM^2 + BN^2 = MN^2 \).

17. Таким образом, доказано, что \( AM^2 + BN^2 = MN^2 \).