ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 20.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(26 \, \text{см}\), а катеты относятся как \(5 : 12\). Найдите катеты этого треугольника.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами АВ и АС и гипотенузой ВС. Согласно условию, отношение катетов АВ и АС равно 5:12, то есть АВ = 5x и АС = 12x, где x — некоторое положительное число.
2. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). Подставим выражения для катетов: \((5x)^2 + (12x)^2 = BC^2\).
3. Раскрывая скобки, получаем: \(25x^2 + 144x^2 = BC^2\), или \(169x^2 = BC^2\).
4. Извлекая корень из обеих частей, находим: \(x = \sqrt{BC^2/169}\).
5. Согласно условию, длина гипотенузы ВС равна 26 см, поэтому \(x = \sqrt{26^2/169} = 2\).
6. Таким образом, длины катетов равны: АВ = 5x = 5·2 = 10 см, АС = 12x = 12·2 = 24 см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и AC — катеты, а BC — гипотенуза.

2. Согласно условию, отношение катетов AB и AC равно 5:12, то есть AB = 5x и AC = 12x, где x — некоторое положительное число.

3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется равенство: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). Подставим выражения для катетов: \((5x)^2 + (12x)^2 = BC^2\).

4. Раскрывая скобки, получаем: \(25x^2 + 144x^2 = BC^2\), или \(169x^2 = BC^2\).

5. Извлекая корень из обеих частей, находим: \(x = \sqrt{BC^2/169}\). Это означает, что длина каждого катета пропорциональна значению x.

6. Согласно условию, длина гипотенузы BC равна 26 см. Поэтому можно записать: \(x = \sqrt{26^2/169} = 2\).

7. Теперь, зная значение x, можно вычислить длины катетов:
— AB = 5x = 5 * 2 = 10 см
— AC = 12x = 12 * 2 = 24 см

8. Для проверки, подставим найденные значения катетов в теорему Пифагора:
\((10)^2 + (24)^2 = 100 + 576 = 676 = (26)^2\)
Это равенство верно, что подтверждает правильность вычислений.

9. Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника составляют 10 см и 24 см, а длина гипотенузы равна 26 см.

10. Ответ: длины катетов прямоугольного треугольника равны 10 см и 24 см, а длина гипотенузы составляет 26 см.