ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(17 \, \text{см}\), а высота, проведённая к основанию, — \(8 \, \text{см}\). Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

Дано:
\(AB = AC = 17 \, \text{см}, \, BH = 8 \, \text{см}\).

Решение:
1. Найдём \(AH\):
\(AH = \sqrt{AB^2 — BH^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}\).

2. Найдём тригонометрические функции:
\(\sin \alpha = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{17}\),
\(\cos \alpha = \frac{AH}{AB} = \frac{15}{17}\),
\(\tan \alpha = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{15}\),
\(\cot \alpha = \frac{AH}{BH} = \frac{15}{8}\).

Дано:
\(AB = AC = 17 \, \text{см}, \, BH = 8 \, \text{см}\).

Решение:

1. Треугольник \(ABC\) равнобедренный, где \(AB = AC\), а \(BH\) — высота, опущенная к основанию \(BC\). Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, поэтому \(H\) — середина отрезка \(BC\). Обозначим \(AH = x\), \(BH = 8\), \(AB = 17\).

2. Так как высота делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных, применим теорему Пифагора в треугольнике \(ABH\):
\(
AB^2 = AH^2 + BH^2.
\)
Подставим известные значения:
\(
17^2 = AH^2 + 8^2.
\)
Выполним возведение в квадрат:
\(
289 = AH^2 + 64.
\)
Вычтем \(64\) из обеих сторон:
\(
AH^2 = 289 — 64.
\)
Вычислим разность:
\(
AH^2 = 225.
\)
Найдём \(AH\), извлекая квадратный корень:
\(
AH = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}.
\)

3. Теперь найдём значения тригонометрических функций угла \(\alpha\) при основании:
\(\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha\).

\(\sin \alpha\) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\(
\sin \alpha = \frac{BH}{AB}.
\)
Подставим значения:
\(
\sin \alpha = \frac{8}{17}.
\)

\(\cos \alpha\) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\(
\cos \alpha = \frac{AH}{AB}.
\)
Подставим значения:
\(
\cos \alpha = \frac{15}{17}.
\)

\(\tan \alpha\) — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
\(
\tan \alpha = \frac{BH}{AH}.
\)
Подставим значения:
\(
\tan \alpha = \frac{8}{15}.
\)

\(\cot \alpha\) — это отношение прилежащего катета к противолежащему:
\(
\cot \alpha = \frac{AH}{BH}.
\)
Подставим значения:
\(
\cot \alpha = \frac{15}{8}.
\)

Ответ:
\(\sin \alpha = \frac{8}{17}\),
\(\cos \alpha = \frac{15}{17}\),
\(\tan \alpha = \frac{8}{15}\),
\(\cot \alpha = \frac{15}{8}\).