ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами, длины которых равны \(\sqrt{3} \, \text{см}\) и \(3 \, \text{см}\).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CDB \), где \( CD \) и \( DB \) — это катеты, а \( CB \) — гипотенуза. По условию задачи, стороны прямоугольника равны \( \sqrt{3} \) см и \( 3 \) см. Пусть \( CD = \sqrt{3} \) см и \( DB = 3 \) см.

2. Найдем длину гипотенузы \( CB \) с помощью теоремы Пифагора:
\( CB = \sqrt{CD^2 + DB^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).

3. Теперь найдем угол \( \angle CDB \). Для этого используем тангенс угла, так как тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
\( \tan \angle CDB = \frac{CD}{DB} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

4. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что если \( \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то \( \theta = 30^\circ \). Следовательно, \( \angle CDB = 30^\circ \).

5. Теперь найдем угол \( \angle DBC \). Используем котангенс угла, который является обратной величиной тангенса:
\( \cot \angle DBC = \frac{DB}{CD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).

6. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что если \( \cot \theta = \sqrt{3} \), то \( \theta = 60^\circ \). Следовательно, \( \angle DBC = 60^\circ \).

7. Таким образом, углы между диагональю прямоугольника и его сторонами равны \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \).

1. Рассмотрим прямоугольник, стороны которого равны \( \sqrt{3} \, \text{см} \) и \( 3 \, \text{см} \). Пусть \( CD = \sqrt{3} \, \text{см} \), \( DB = 3 \, \text{см} \), а диагональ \( CB \) соединяет противоположные вершины прямоугольника. Необходимо найти углы между диагональю \( CB \) и сторонами \( CD \) и \( DB \).

2. Для нахождения углов между диагональю и сторонами прямоугольника используем свойства прямоугольных треугольников. Рассмотрим треугольник \( \triangle CDB \), который является прямоугольным, так как \( CD \) и \( DB \) — стороны прямоугольника, а угол между ними равен \( 90^\circ \).

3. Сначала найдем длину диагонали \( CB \). Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
\(
CB = \sqrt{CD^2 + DB^2}.
\)
Подставим значения:
\(
CB = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12}.
\)
Упростим корень:
\(
CB = 2\sqrt{3}.
\)
Таким образом, длина диагонали равна \( 2\sqrt{3} \, \text{см} \).

4. Теперь найдем угол \( \angle CDB \) между диагональю \( CB \) и стороной \( DB \). Для этого используем определение тангенса угла:
\(
\tan \angle CDB = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.
\)
В данном случае противолежащим катетом является \( CD \), а прилежащим — \( DB \). Подставим значения:
\(
\tan \angle CDB = \frac{CD}{DB} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
\)
Обратимся к таблице значений тригонометрических функций. Известно, что если \( \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то \( \theta = 30^\circ \).
Следовательно,
\(
\angle CDB = 30^\circ.
\)

5. Найдем угол \( \angle DBC \) между диагональю \( CB \) и стороной \( CD \). Для этого используем определение котангенса угла:
\(
\cot \angle DBC = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.
\)
В данном случае прилежащим катетом является \( DB \), а противолежащим — \( CD \). Подставим значения:
\(
\cot \angle DBC = \frac{DB}{CD} = \frac{3}{\sqrt{3}}.
\)
Упростим дробь:
\(
\cot \angle DBC = \sqrt{3}.
\)
Обратимся к таблице значений тригонометрических функций. Известно, что если \( \cot \theta = \sqrt{3} \), то \( \theta = 60^\circ \).
Следовательно,
\(
\angle DBC = 60^\circ.
\)

6. Таким образом, углы между диагональю прямоугольника и его сторонами равны:
\(
\angle CDB = 30^\circ, \quad \angle DBC = 60^\circ.
\)