ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобокой трапеции \(ABCD\) \(AB = CD = 9 \, \text{см}\), \(BC = 10 \, \text{см}\), \(AD = 14 \, \text{см}\). Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла \(A\) трапеции.

1. \( MN = \frac{14 — 10}{2} = 2 \, \text{см} \)

2. \( BH^2 = AB^2 — MN^2 = 9^2 — 2^2 = 81 — 4 = 77 \)

\( BH = \sqrt{77} \, \text{см} \)

3. \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{77}}{9}, \, \cos \alpha = \frac{2}{9} \)

\( \tan \alpha = \frac{\sqrt{77}}{2}, \, \cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{77}} \)

1. Рассмотрим равнобокую трапецию \( ABCD \), где \( AB = CD = 9 \, \text{см} \), \( BC = 10 \, \text{см} \), \( AD = 14 \, \text{см} \). Необходимо найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла \( A \). Для этого начнем с нахождения высоты трапеции.

2. Поскольку трапеция равнобокая, основания \( AB \) и \( CD \) равны, а боковые стороны \( BC \) и \( AD \) параллельны. Высота \( BH \), опущенная из вершины \( B \) на основание \( AD \), делит \( AD \) на три отрезка: \( AH \), \( BH \) и \( HD \), где \( AH = HD = \frac{AD — BC}{2} \).

Найдем \( AH \):
\(
AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{14 — 10}{2} = 2 \, \text{см}.
\)

3. Теперь применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике \( ABH \), где \( AB \) — гипотенуза, \( AH \) — один из катетов, а \( BH \) — другой катет. Выразим \( BH \):
\(
BH^2 = AB^2 — AH^2.
\)

Подставим значения:
\(
BH^2 = 9^2 — 2^2 = 81 — 4 = 77.
\)

Следовательно:
\(
BH = \sqrt{77} \, \text{см}.
\)

4. Теперь найдем тригонометрические функции угла \( A \) в треугольнике \( ABH \).

Синус угла \( A \) определяется как отношение противолежащего катета \( BH \) к гипотенузе \( AB \):
\(
\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{77}}{9}.
\)

Косинус угла \( A \) определяется как отношение прилежащего катета \( AH \) к гипотенузе \( AB \):
\(
\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{9}.
\)

Тангенс угла \( A \) определяется как отношение противолежащего катета \( BH \) к прилежащему катету \( AH \):
\(
\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{77}}{2}.
\)

Котангенс угла \( A \) определяется как отношение прилежащего катета \( AH \) к противолежащему катету \( BH \):
\(
\cot A = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{\sqrt{77}}.
\)

5. Ответ:
\(
\sin A = \frac{\sqrt{77}}{9}, \, \cos A = \frac{2}{9}, \, \tan A = \frac{\sqrt{77}}{2}, \, \cot A = \frac{2}{\sqrt{77}}.
\)