ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами.

Тангенсы острых углов прямоугольного треугольника являются взаимно обратными числами. Пусть острые углы треугольника \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда \(\alpha + \beta = 90^\circ\).

Итак, \(\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\) и \(\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\).

Поскольку \(\alpha + \beta = 90^\circ\), то \(\tan \alpha = \cot \beta\) и \(\tan \beta = \cot \alpha\).

Таким образом, \(\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1\), что доказывает, что тангенсы углов являются взаимно обратными числами.

Пусть в прямоугольном треугольнике острые углы обозначены как \(\alpha\) и \(\beta\). Из свойств прямоугольного треугольника известно, что сумма острых углов равна \(90^\circ\), то есть:

\(\alpha + \beta = 90^\circ\).

Это означает, что углы \(\alpha\) и \(\beta\) являются дополнительными. Вспомним определение тангенса: тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:

\(\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\),
\(\tan \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\).

Кроме того, из тригонометрических свойств известно, что тангенс одного угла равен котангенсу другого угла, если эти углы являются дополнительными. То есть:

\(\tan \alpha = \cot \beta\),
\(\tan \beta = \cot \alpha\).

Котангенс угла — это величина, обратная тангенсу того же угла, то есть:

\(\cot \beta = \frac{1}{\tan \beta}\),
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\).

Подставим значение \(\cot \beta\) в первое равенство:

\(\tan \alpha = \frac{1}{\tan \beta}\).

Умножим обе части равенства на \(\tan \beta\), чтобы избавиться от дроби:

\(\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1\).

Таким образом, мы доказали, что произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно единице. Это означает, что тангенсы углов \(\alpha\) и \(\beta\) являются взаимно обратными числами.