ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\);

2) \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\).

1) \(1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\)

\(1 + \tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}\)

2) \(1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\)

\(1 + \cot^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}\)

1) \(1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\)

Рассмотрим левую часть тождества: \(1 + \tan^2\alpha\).

По определению тангенса: \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Тогда \(\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\).

Подставим это в выражение: \(1 + \tan^2\alpha = 1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\).

Приведем к общему знаменателю: \(1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\).

Сложим дроби: \(\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\).

Тогда: \(\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}\).

Получаем: \(1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\).

2) \(1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\)

Рассмотрим левую часть тождества: \(1 + \cot^2\alpha\).

По определению котангенса: \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Тогда \(\cot^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\).

Подставим это в выражение: \(1 + \cot^2\alpha = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\).

Приведем к общему знаменателю: \(1 + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\).

Сложим дроби: \(\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\).

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Тогда: \(\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}\).

Получаем: \(1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\).