ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
1) \(\sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ\);
2) \(\cos^3 36^\circ — \sin^3 54^\circ\).

1) \( \sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ = 1 \)

2) \( \cos^3 36^\circ — \sin^3 54^\circ = 0 \)

1) Рассмотрим выражение \( \sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ \).

— Согласно основному тригонометрическому тождеству, для любого угла \( x \) выполняется:
\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

— Углы \( 18^\circ \) и \( 72^\circ \) связаны следующим образом:
\( 72^\circ = 90^\circ — 18^\circ \).
Это позволяет записать \( \sin 72^\circ \) через \( \cos 18^\circ \), поскольку:
\( \sin (90^\circ — x) = \cos x \).

— Подставим это в выражение:
\( \sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ = \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ \).

— Теперь применим основное тригонометрическое тождество:
\( \sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ = 1 \).

— Таким образом, первое выражение равно:
\( \sin^2 18^\circ + \sin^2 72^\circ = 1 \).

2) Рассмотрим выражение \( \cos^3 36^\circ — \sin^3 54^\circ \).

— Углы \( 36^\circ \) и \( 54^\circ \) связаны следующим образом:
\( 54^\circ = 90^\circ — 36^\circ \).
Это позволяет записать \( \sin 54^\circ \) через \( \cos 36^\circ \), поскольку:
\( \sin (90^\circ — x) = \cos x \).

— Подставим это в выражение:
\( \cos^3 36^\circ — \sin^3 54^\circ = \cos^3 36^\circ — \cos^3 36^\circ \).

— Вычитаем одинаковые величины:
\( \cos^3 36^\circ — \cos^3 36^\circ = 0 \).

— Таким образом, второе выражение равно:
\( \cos^3 36^\circ — \sin^3 54^\circ = 0 \).