ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Катеты прямоугольного треугольника равны \(30 \, \text{см}\) и \(40 \, \text{см}\). Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

1. \(AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50\)
2. \(CU = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25\)
3. \(\sin \angle MUC = \frac{7}{25} = 0,28\)
4. \(\cos \angle MUC = \frac{24}{25} = 0,96\)
5. \(\tan \angle MUC = \frac{\sin \angle MUC}{\cos \angle MUC} = \frac{7}{24}\)
6. \(\cot \angle MUC = \frac{\cos \angle MUC}{\sin \angle MUC} = \frac{24}{7}\)

1. Рассчитаем длину гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
\(AB = \sqrt{AC^2 + CB^2}\), где \(AC = 30\), \(CB = 40\).
Подставляем значения:
\(AB = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\).

2. Найдем длину медианы \(CU\), проведенной к гипотенузе \(AB\). Формула для медианы к гипотенузе:
\(CU = \frac{1}{2} \cdot AB\).
Подставляем значение \(AB = 50\):
\(CU = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25\).

3. Рассмотрим треугольник \(MUC\), где \(M\) — точка пересечения высоты и медианы. Найдем синус угла \(\angle MUC\).
По определению синуса:
\(\sin \angle MUC = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).
Противолежащий катет равен \(MU = 7\), гипотенуза равна \(CU = 25\).
Подставляем значения:
\(\sin \angle MUC = \frac{7}{25} = 0,28\).

4. Найдем косинус угла \(\angle MUC\).
По определению косинуса:
\(\cos \angle MUC = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).
Прилежащий катет равен \(MC = 24\), гипотенуза равна \(CU = 25\).
Подставляем значения:
\(\cos \angle MUC = \frac{24}{25} = 0,96\).

5. Найдем тангенс угла \(\angle MUC\).
По определению тангенса:
\(\tan \angle MUC = \frac{\sin \angle MUC}{\cos \angle MUC}\).
Подставляем значения:
\(\tan \angle MUC = \frac{7}{24}\).

6. Найдем котангенс угла \(\angle MUC\).
По определению котангенса:
\(\cot \angle MUC = \frac{\cos \angle MUC}{\sin \angle MUC}\).
Подставляем значения:
\(\cot \angle MUC = \frac{24}{7}\).