ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(AB = BC\), \(BD\) и \(AM\) — высоты треугольника, \(BD : AM = 3 : 1\). Найдите \(\cos C\).

\( \cos C = \frac{1}{6} \)

В треугольнике \( ABC \) даны условия:

1. \( AB = BC \), то есть треугольник равнобедренный.
2. \( BD \) и \( AM \) — высоты треугольника.
3. Отношение высот: \( BD : AM = 3 : 1 \).

Рассмотрим решение:

1. Так как \( AB = BC \), треугольник равнобедренный, следовательно, высота \( BD \) является также медианой и биссектрисой. Аналогично для высоты \( AM \).

2. Пусть \( BD = 3x \), а \( AM = x \) (из условия \( BD : AM = 3 : 1 \)).

3. По определению косинуса угла \( C \):
\(
\cos C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.
\)
Здесь прилежащий катет — \( AM \), а гипотенуза — \( AC \).

4. Используем пропорцию высот и свойства треугольника. Так как \( BD : AM = 3 : 1 \), то:
\(
\cos C = \frac{AM}{AC} = \frac{x}{3x + x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}.
\)

Ответ:
\( \cos C = \frac{1}{6} \).