ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\) можно вычислить по формуле \(n = p — BC\), где \(p\) , где \(p\) — полупериметр треугольника \(ABC\).

1. Дано: \(n = p — BC\), где \(p\) — полупериметр треугольника, а \(BC\) — одна из сторон треугольника.
2. Для вычисления радиуса вписанной окружности используем формулу:
\(r = \frac{S}{p}\),
где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр.
3. Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности, используя следующую формулу:
\(S = (p — BC) \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
4. Подставляем значения в выражение для радиуса:
\(r = \frac{S}{p} = \frac{(p — BC) \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{p}\).
5. Ответ: радиус окружности \(r\) можно выразить через полупериметр треугольника и длину стороны \(BC\), используя приведенные выше формулы.

1. Дано: \(n = p — BC\), где \(p\) — полупериметр треугольника, \(BC\) — одна из сторон треугольника. Полупериметр \(p\) определяется как половина суммы всех сторон треугольника:
\(p = \frac{AB + BC + CA}{2}\).
Таким образом, \(n\) — это разность между полупериметром \(p\) и длиной стороны \(BC\):
\(n = p — BC\).

2. Для вычисления радиуса вписанной окружности \(r\) используем основную формулу:
\(r = \frac{S}{p}\),
где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр. Эта формула связывает радиус вписанной окружности с площадью треугольника и его полупериметром.

3. Площадь треугольника \(S\) можно выразить через радиус вписанной окружности \(r\) и полупериметр \(p\) с использованием следующей формулы:
\(S = r \cdot p\).
Однако в данном случае требуется выразить \(S\) через \(n\) и угол \(\alpha\) при вершине \(A\), противоположной стороне \(BC\). Для этого воспользуемся формулой:
\(S = (p — BC) \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\).
Здесь:
— \(p — BC = n\) — это разность между полупериметром и длиной стороны \(BC\),
— \(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) — тангенс половины угла \(\alpha\).

4. Подставляем выражение для площади \(S\) в формулу радиуса \(r\):
\(r = \frac{S}{p}\).
Теперь заменим \(S\) на выражение \((p — BC) \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\):
\(r = \frac{(p — BC) \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{p}\).
Учитывая, что \(p — BC = n\), окончательно получаем:
\(r = \frac{n \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{p}\).

5. Таким образом, радиус вписанной окружности \(r\) выражается через полупериметр треугольника \(p\), длину стороны \(BC\) и угол \(\alpha\):
\(r = \frac{(p — BC) \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{p}\).
Этот результат показывает, как радиус вписанной окружности зависит от геометрических параметров треугольника.