ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что углы \(ABC\) и \(DEF\), изображённые на рисунке 21.6, равны.

\(\triangle ABC = \triangle DEF \Rightarrow \angle ABC = \angle DEF\)

\(\triangle ABC\) и \(\triangle DEF\) равны, так как их стороны пропорциональны, а углы между соответствующими сторонами равны.

1. В треугольнике \(\triangle ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) расположены на клетчатом поле, где видны их длины. Аналогично в \(\triangle DEF\) стороны \(DE\) и \(EF\) также расположены на клетчатом поле.

2. Длины сторон рассчитываются по формуле длины отрезка:
\[
d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}.
\]
Для сторон \(AB\), \(BC\), \(DE\), \(EF\) вычислим длины:
— \(AB = \sqrt{(2 — 0)^2 + (1 — 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\),
— \(BC = \sqrt{(3 — 2)^2 + (3 — 1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\),
— \(DE = \sqrt{(2 — 0)^2 + (-1 — 0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\),
— \(EF = \sqrt{(3 — 2)^2 + (-3 — (-1))^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).

3. Видно, что соответствующие стороны \(AB = DE\) и \(BC = EF\) равны.

4. Угол между сторонами \(AB\) и \(BC\) равен углу между сторонами \(DE\) и \(EF\), так как их наклоны одинаковы. Проверим это:
— Наклон \(AB\): \(\tan \alpha = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{1 — 0}{2 — 0} = \frac{1}{2}\),
— Наклон \(BC\): \(\tan \beta = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{3 — 1}{3 — 2} = 2\),
— Наклон \(DE\): \(\tan \alpha’ = \frac{-1 — 0}{2 — 0} = \frac{-1}{2}\),
— Наклон \(EF\): \(\tan \beta’ = \frac{-3 — (-1)}{3 — 2} = -2\).

Углы \(\alpha\) и \(\alpha’\), \(\beta\) и \(\beta’\) равны по абсолютным значениям наклонов.

5. Таким образом, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle DEF\) равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).

6. Следовательно, углы \(\angle ABC\) и \(\angle DEF\) равны.

Ответ: \(\triangle ABC = \triangle DEF \Rightarrow \angle ABC = \angle DEF\).