ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) отношение высоты \(BD\) к основанию \(AC\) равно \(\sqrt{3}\). На стороне \(BC\) отметили точку \(M\) так, что \(BM : MC = 1 : 2\). Найдите угол \(MAC\).

1. Пусть \( AC = 2a \), тогда \( BD = a\sqrt{3} \).
2. Угол \( \angle BAC = 60^\circ \), так как \( \tan(\angle BAC) = \sqrt{3} \).
3. Рассмотрим треугольник \( \triangle MAC \).
4. По условию \( BM : MC = 1 : 2 \), значит \( MC = \frac{2}{3}BC \).
5. Используя теорему косинусов, \( \angle MAC = 60^\circ \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) даны: высота \( BD \) и основание \( AC \), где отношение \( \frac{BD}{AC} = \sqrt{3} \). На стороне \( BC \) отмечена точка \( M \) так, что \( \frac{BM}{MC} = \frac{1}{2} \). Нужно найти угол \( \angle MAC \).

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABD \), где \( BD \) — высота. Пусть \( AC = 2a \), тогда \( BD = a\sqrt{3} \). Используя тангенс угла \( \angle BAD \):

\(
\tan \angle BAD = \frac{BD}{AD} = \sqrt{3}
\)

Следовательно, \( \angle BAD = 60^\circ \).

2. Поскольку треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( \angle BAC = 60^\circ \).

3. Рассмотрим треугольник \( \triangle BMC \), где \( BM : MC = 1 : 2 \). Это значит, что точка \( M \) делит сторону \( BC \) в отношении 1:2.

4. Треугольник \( \triangle BMC \) подобен треугольнику \( \triangle ABC \), так как они имеют общий угол \( \angle BMC \) и равные углы при вершинах \( B \) и \( C \).

5. Угол \( \angle MAC \) равен углу \( \angle BAC \), так как \( M \) лежит на прямой \( AC \). Таким образом, \( \angle MAC = 60^\circ \).

Ответ: \( \angle MAC = 60^\circ \).