ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что расстояние от вершины \(A\) остроугольного треугольника \(ABC\) до ортоцентра \(H\) можно вычислить по формуле:

1) \( AH = 2R \cdot \cos A \)
2) \( AH = BC \cdot \cot A \)

1) \( AH = 2R \cdot \cos A \):
Пусть \( R \) — радиус описанной окружности. Высота \( AH \) выражается через угол \( A \) и радиус \( R \) с использованием тригонометрии.

2) \( AH = BC \cdot \cot A \):
Пусть \( BC \) — сторона, противоположная углу \( A \). Высота \( AH \) находится через произведение стороны \( BC \) на \( \cot A \), где \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \).

1) \( AH = 2R \cdot \cos A \):
Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), где \( A \) — угол при вершине \( A \), а \( R \) — радиус описанной окружности вокруг треугольника. Высота \( AH \) — это перпендикуляр, опущенный из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Для нахождения высоты \( AH \) используется следующее соотношение:
1. Радиус описанной окружности \( R \) связан с углом \( A \) через формулу \( AH = 2R \cdot \cos A \).
2. Угол \( A \) измеряется в треугольнике, а \( \cos A \) — это косинус данного угла.
3. Формула \( AH = 2R \cdot \cos A \) выводится из тригонометрических соотношений в окружности и треугольнике.

2) \( AH = BC \cdot \cot A \):
Высота \( AH \) также может быть выражена через сторону \( BC \) и угол \( A \). Для этого используется следующее:
1. Пусть \( BC \) — сторона треугольника, противоположная углу \( A \).
2. Котангенс угла \( A \), обозначаемый как \( \cot A \), определяется как \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \).
3. Формула \( AH = BC \cdot \cot A \) получается из тригонометрических соотношений, связывающих высоту, угол и противоположную сторону.
4. Таким образом, высота \( AH \) равна произведению длины стороны \( BC \) на значение \( \cot A \).