ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите угол \(C\) остроугольного треугольника \(ABC\), если расстояние от вершины \(C\) до ортоцентра треугольника равно радиусу описанной окружности.

Расстояние от вершины \(C\) до ортоцентра равно радиусу описанной окружности, то есть \(CH = R\).

По свойству остроугольного треугольника:

\(
\cos C = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}.
\)

Из таблицы значений косинусов следует, что \(\cos C = \frac{1}{2}\) соответствует углу:

\(
\angle C = 60^\circ.
\)

Найти: \(\angle C\)

Решение:

1. Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\), в котором задано, что расстояние от вершины \(C\) до ортоцентра треугольника равно радиусу описанной окружности. Обозначим ортоцентр треугольника как точку \(H\), а радиус описанной окружности как \(R\).

2. В треугольнике \(ABC\) ортоцентр \(H\) является точкой пересечения высот. Если \(CH = R\), это значит, что высота, проведенная из вершины \(C\), равна радиусу описанной окружности.

3. Вспомним, что косинус угла в треугольнике можно выразить через радиус описанной окружности. Для угла \(C\) имеем:
\(
\cos C = \frac{R}{2R}
\)

4. Подставляем значение \(CH = R\) в формулу:
\(
\cos C = \frac{1}{2}
\)

5. Косинус угла равен \(\frac{1}{2}\) при угле \(60^\circ\). Таким образом, угол \(C\) равен \(60^\circ\).

Заключение: \(\angle C = 60^\circ\)