ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Используя теорему Чевы, докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\) и его высоты \(h_A\), \(h_B\), \(h_C\), которые пересекаются в точке \(H\). Для доказательства, что высоты пересекаются в одной точке, используем теорему Чевы.

Теорема Чевы утверждает, что если три прямые, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то выполняется равенство:

\(
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,
\)

где \(D\), \(E\), \(F\) — точки пересечения высот с противоположными сторонами \(BC\), \(CA\), \(AB\).

Пусть:

1. \(D\) — точка пересечения высоты из \(A\) с \(BC\),
2. \(E\) — точка пересечения высоты из \(B\) с \(AC\),
3. \(F\) — точка пересечения высоты из \(C\) с \(AB\).

Так как высоты пересекаются в одной точке \(H\), то по теореме Чевы выполняется:

\(
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.
\)

Следовательно, высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Рассмотрим остроугольный треугольник \(ABC\) с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) и его высоты \(h_A\), \(h_B\), \(h_C\), которые пересекаются в точке \(H\). Для доказательства того, что высоты пересекаются в одной точке, применим теорему Чевы.

Теорема Чевы утверждает, что для любого треугольника \(ABC\), если три прямые, проведенные из вершин \(A\), \(B\), \(C\) на противоположные стороны (или их продолжения), пересекаются в одной точке, то выполняется следующее соотношение:

\(
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,
\)

где \(D\), \(E\), \(F\) — точки пересечения прямых с противоположными сторонами \(BC\), \(CA\), \(AB\) соответственно.

Шаг 1: Определим точки пересечения высот. Пусть:

1. \(D\) — точка пересечения высоты \(h_A\), проведенной из вершины \(A\), со стороной \(BC\).
2. \(E\) — точка пересечения высоты \(h_B\), проведенной из вершины \(B\), со стороной \(AC\).
3. \(F\) — точка пересечения высоты \(h_C\), проведенной из вершины \(C\), со стороной \(AB\).

Шаг 2: Применим теорему Чевы для треугольника \(ABC\). Высоты треугольника являются прямыми, проходящими через вершины и перпендикулярными к противоположным сторонам. Важно показать, что точки пересечения \(D\), \(E\), \(F\) и точка пересечения высот \(H\) удовлетворяют условию теоремы Чевы.

Для высот треугольника выполняется:

\(
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.
\)

Шаг 3: Докажем выполнение данного равенства. Рассмотрим треугольник \(ABC\):

1. Высота \(h_A\) делит сторону \(BC\) на отрезки \(BD\) и \(DC\).
2. Высота \(h_B\) делит сторону \(AC\) на отрезки \(CE\) и \(EA\).
3. Высота \(h_C\) делит сторону \(AB\) на отрезки \(AF\) и \(FB\).

Поскольку высоты пересекаются в одной точке \(H\), выполняется соотношение теоремы Чевы:

\(
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.
\)

Шаг 4: Заключение. Теорема Чевы доказана для высот треугольника, следовательно, высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.