ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), касается сторон \(AB\) и \(BC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Докажите, что отрезки \(CM\), \(AN\) и высота \(BF\) треугольника \(ABC\) пересекаются в одной точке.

\( CM, AN \) и высота \( BF \) пересекаются в одной точке, так как они являются сопряженными линиями треугольника, проходящими через его ортоцентр.

Окружность касается сторон \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \), а её центр лежит на стороне \( AC \). Докажем, что отрезки \( CM \), \( AN \) и высота \( BF \) пересекаются в одной точке.

1. Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором окружность вписана так, что её центр \( O \) принадлежит стороне \( AC \). Точки касания окружности со сторонами \( AB \) и \( BC \) обозначены как \( M \) и \( N \) соответственно.

2. Точка \( M \) является точкой касания окружности со стороной \( AB \), а точка \( N \) — со стороной \( BC \). Свойство касательной говорит о том, что длины отрезков, соединяющих точки касания с вершинами треугольника, равны. То есть:
\( AM = BM \) и \( BN = CN \).

3. Проведём отрезок \( CM \), который соединяет вершину \( C \) с точкой касания \( M \). Этот отрезок будет медианой треугольника \( ABC \), так как он соединяет вершину с точкой, делящей противоположную сторону на два равных отрезка.

4. Аналогично проведём отрезок \( AN \), который соединяет вершину \( A \) с точкой касания \( N \). Этот отрезок также является медианой треугольника \( ABC \), так как он соединяет вершину с точкой, делящей противоположную сторону на два равных отрезка.

5. Высота \( BF \), проведённая из вершины \( B \) перпендикулярно стороне \( AC \), пересекает медианы \( CM \) и \( AN \) в одной точке. Это связано с тем, что медианы и высота треугольника пересекаются в его ортоцентре.

6. Ортоцентр треугольника \( ABC \) — это точка пересечения всех высот треугольника. В данном случае, так как окружность вписана, то медианы \( CM \) и \( AN \), а также высота \( BF \) проходят через одну точку — ортоцентр треугольника.

Таким образом, отрезки \( CM \), \( AN \) и высота \( BF \) пересекаются в одной точке, которая является ортоцентром треугольника \( ABC \).