ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
1) \(\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ\);
2) \(2\cos^2 60^\circ — \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cot 60^\circ\).

1) \(\cos^2(45^\circ) + \tan^2(60^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = \frac{1}{2} + 3 = 3.5.\)

2) \(2\cos^2(60^\circ) — \sin^2(30^\circ) + \sin(60^\circ) \cdot \cot(60^\circ) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} =\)
\(= \frac{1}{2} — \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}.\)

1) Найдём значение выражения \(\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ\):

\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда:
\(
\cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\). Тогда:
\(
\tan^2 60^\circ = \left(\sqrt{3}\right)^2 = 3.
\)

Теперь складываем:
\(
\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ = \frac{1}{2} + 3 = 3,5.
\)

2) Найдём значение выражения \(2\cos^2 60^\circ — \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ\):

\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда:
\(
\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
\)
Умножаем на 2:
\(
2\cos^2 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда:
\(
\sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
\)

\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда:
\(
\sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}.
\)

Теперь подставляем всё в выражение:
\(
2\cos^2 60^\circ — \sin^2 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cot 60^\circ = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} + \frac{1}{2}.
\)

Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{1}{2} = \frac{2}{4}, \quad \frac{1}{2} = \frac{2}{4}.
\)
Складываем:
\(
\frac{2}{4} — \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}.
\)

Ответ:
1) \(3,5\).
2) \(\frac{3}{4}\).