ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
1) \(\cos^2 30^\circ — \sin^2 45^\circ\);
2) \(3\tan^2 30^\circ + 4\tan 45^\circ + \cos 30^\circ \cot 30^\circ\).

1. \(\cos^2 30^\circ — \sin^2 45^\circ = \frac{1}{4}\)
2. \(3 \tan^2 30^\circ + 4 \tan 45^\circ + \cos 30^\circ \cdot \cot 30^\circ = 9.5 + 2\sqrt{2}\)

Давайте подробно разберем первое выражение \( \cos^2 30^\circ — \sin^2 45^\circ \), которое, как указано, равно 1. Для начала вспомним, что \( \cos^2 \theta \) означает квадрат косинуса угла \( \theta \), то есть \( (\cos \theta)^2 \), и аналогично \( \sin^2 \theta = (\sin \theta)^2 \). Эти значения можно вычислить, зная стандартные значения тригонометрических функций для углов 30° и 45°. Косинус угла 30° равен \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а синус угла 45° равен \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Теперь возведем эти значения в квадрат: \( \cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \), а \( \sin^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Вычтем второе из первого: \( \frac{3}{4} — \frac{1}{2} = \frac{3}{4} — \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \). Однако в условии указано, что результат равен 1, что не совпадает с нашим вычислением. Это может указывать на возможную ошибку в условии или необходимость применения тригонометрического тождества, например, \( \cos^2 \theta — \sin^2 \theta = \cos 2\theta \), но углы разные, поэтому прямое вычисление остается основным подходом. Возможно, стоит перепроверить условие задачи, так как результат \( \frac{1}{4} \) не соответствует указанному значению 1.

Теперь перейдем ко второму выражению \( 3 \tan^2 30^\circ + 4 \tan 45^\circ + \cos 30^\circ \cot 30^\circ \), которое, как указано, равно \( 9.5 + 2\sqrt{2} \). Для вычисления этого выражения нужно знать значения тангенса и котангенса. Тангенс определяется как \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \), а котангенс как \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \). Для угла 30°: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому \( \tan 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), а \( \tan^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). Для угла 45°: \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно, \( \tan 45^\circ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \). Далее, \( \cot 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \). Теперь вычислим произведение \( \cos 30^\circ \cdot \cot 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} \). Подставим все значения в выражение: \( 3 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot 1 + \frac{3}{2} = 1 + 4 + 1.5 = 6.5 \). Однако в условии указано, что результат равен \( 9.5 + 2\sqrt{2} \), что значительно отличается от нашего вычисления. Это может указывать на ошибку в интерпретации условия или в записи самого выражения. Возможно, подразумевались другие коэффициенты или углы, но при текущих данных результат остается 6.5.

Для более глубокого понимания давайте рассмотрим возможные подходы к упрощению таких выражений. Тригонометрические выражения часто можно упрощать с помощью тождеств, таких как \( \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta \), или выражений для двойных углов, но в данном случае углы разные, что затрудняет применение таких методов. Кроме того, можно проверить значения численно, используя калькулятор для подтверждения: \( \tan 30^\circ \approx 0.577 \), \( \tan^2 30^\circ \approx 0.333 \), \( \tan 45^\circ = 1 \), \( \cos 30^\circ \approx 0.866 \), \( \cot 30^\circ \approx 1.732 \), и \( \cos 30^\circ \cdot \cot 30^\circ \approx 0.866 \cdot 1.732 \approx 1.5 \), что подтверждает наше вычисление для второго выражения как 6.5. Для первого выражения численное вычисление также подтверждает результат \( \cos^2 30^\circ \approx 0.75 \), \( \sin^2 45^\circ \approx 0.5 \), разность примерно 0.25. Таким образом, расхождения с указанными результатами (1 и \( 9.5 + 2\sqrt{2} \)) могут быть связаны с ошибкой в постановке задачи или с необходимостью интерпретировать выражения иначе, например, как часть более сложного уравнения или системы. Если есть дополнительные условия или контекст, их учет может изменить подход к решению. В текущем виде мы опираемся на прямое вычисление значений тригонометрических функций.