ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) \(\angle C = 90^\circ\), \(BC = 41 \, \text{см}\), \(AC = 20 \, \text{см}\). Найдите косинусы острых углов треугольника.

1. \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
\( AB = \sqrt{20^2 + 41^2} = \sqrt{2081} \)

2. \( \cos \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{\sqrt{2081}} \), \( \cos \beta = \frac{BC}{AB} = \frac{41}{\sqrt{2081}} \)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где угол \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 41 \, \text{см} \), \( AC = 20 \, \text{см} \). Необходимо найти косинусы острых углов \( \alpha \) и \( \beta \), где \( \alpha = \angle CAB \), \( \beta = \angle ABC \).

2. Согласно теореме Пифагора:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

3. Подставляем значения:
\( AB^2 = 20^2 + 41^2 \).

4. Вычисляем квадраты сторон:
\( 20^2 = 400 \),
\( 41^2 = 1681 \).

5. Складываем:
\( AB^2 = 400 + 1681 = 2081 \).

6. Находим длину гипотенузы \( AB \):
\( AB = \sqrt{2081} \).

7. Теперь определим косинус угла \( \alpha \):
\( \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \).

8. Подставляем значения:
\( \cos \alpha = \frac{20}{\sqrt{2081}} \).

9. Аналогично находим косинус угла \( \beta \):
\( \cos \beta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \).

10. Подставляем значения:
\( \cos \beta = \frac{41}{\sqrt{2081}} \).

11. Ответ:
\( \cos \alpha = \frac{20}{\sqrt{2081}}, \, \cos \beta = \frac{41}{\sqrt{2081}} \).