ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите sina, tgan ctga,если \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\).

\( \cos \alpha = \frac{1}{3} \)

\( \sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2} \)

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)

\( \cos \alpha = \frac{1}{3} \)

Для нахождения \( \sin \alpha \) используем основное тригонометрическое тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставляем значение \( \cos \alpha \):
\( \sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \).

Рассчитаем \( \left(\frac{1}{3}\right)^2 \):
\( \sin^2 \alpha + \frac{1}{9} = 1 \).

Вычтем \( \frac{1}{9} \) из обеих частей уравнения:
\( \sin^2 \alpha = 1 — \frac{1}{9} \).

Приведем к общему знаменателю:
\( \sin^2 \alpha = \frac{9}{9} — \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).

Возьмем квадратный корень из обеих частей:
\( \sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} \).

Упростим \( \sqrt{8} \):
\( \sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).

Теперь найдем \( \tan \alpha \). По определению:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Подставим значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):
\( \tan \alpha = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} \).

Упростим дробь:
\( \tan \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2\sqrt{2} \).

Теперь найдем \( \cot \alpha \). По определению:
\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Подставим значения \( \cos \alpha \) и \( \sin \alpha \):
\( \cot \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} \).

Упростим дробь:
\( \cot \alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \).

Уберем иррациональность из знаменателя:
\( \cot \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).

Ответ:
\( \sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} \),
\( \tan \alpha = 2\sqrt{2} \),
\( \cot \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} \).