ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите \(\cos \beta\), \(\tan \beta\) и \(\cot \beta\), если \(\sin \beta = \frac{4}{5}\).

\( \sin\beta = \frac{4}{5} \)

\( \cos\beta = \sqrt{1 — \sin^2\beta} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \)

\( \tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \)

\( \cot\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \)

\( \sin\beta = \frac{4}{5} \)

Определяем \(\cos\beta\) по основному тригонометрическому тождеству:
\( \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 \).

Подставляем значение \(\sin\beta\):
\( \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2\beta = 1 \).

Вычисляем квадрат \(\sin\beta\):
\( \frac{16}{25} + \cos^2\beta = 1 \).

Вычитаем \(\frac{16}{25}\) из обеих частей:
\( \cos^2\beta = 1 — \frac{16}{25} \).

Приводим единицу к общему знаменателю:
\( \cos^2\beta = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} \).

Вычитаем дроби:
\( \cos^2\beta = \frac{9}{25} \).

Находим \(\cos\beta\), извлекая корень:
\( \cos\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} \).

Извлекаем корень из числителя и знаменателя:
\( \cos\beta = \frac{3}{5} \).

Теперь вычисляем \(\tan\beta\):
\( \tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \).

Подставляем значения \(\sin\beta\) и \(\cos\beta\):
\( \tan\beta = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \).

Деление дробей заменяем умножением на обратную:
\( \tan\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} \).

Сокращаем \(5\) в числителе и знаменателе:
\( \tan\beta = \frac{4}{3} \).

Теперь вычисляем \(\cot\beta\):
\( \cot\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \).

Подставляем значения \(\cos\beta\) и \(\sin\beta\):
\( \cot\beta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \).

Деление дробей заменяем умножением на обратную:
\( \cot\beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} \).

Сокращаем \(5\) в числителе и знаменателе:
\( \cot\beta = \frac{3}{4} \).

Ответ:
\( \cos\beta = \frac{3}{5}, \tan\beta = \frac{4}{3}, \cot\beta = \frac{3}{4} \).