ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 21.9 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно \(24 \, \text{см}\), а боковая сторона — \(13 \, \text{см}\). Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

1. \( KE = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} \)
2. \( BH^2 = BC^2 — KE^2 = 13^2 — 12^2 = 169 — 144 = 25 \)
\( BH = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \)
3. \( \sin \angle CBH = \frac{KE}{BC} = \frac{12}{13} \)
\( \cos \angle CBH = \frac{BH}{BC} = \frac{5}{13} \)
\( \tan \angle CBH = \frac{KE}{BH} = \frac{12}{5} \)
\( \cot \angle CBH = \frac{BH}{KE} = \frac{5}{12} \)

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), где основание \( AC = 24 \, \text{см} \), боковые стороны \( AB = BC = 13 \, \text{см} \). Высота \( BH \) проведена из вершины \( B \) на основание \( AC \). Высота делит основание \( AC \) пополам, поэтому:
\( KE = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} \).

2. Найдем высоту \( BH \) с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике \( \triangle BHK \):
\( BH^2 + KE^2 = BC^2 \).
Подставим известные значения:
\( BH^2 + 12^2 = 13^2 \).
Выполним возведение в квадрат:
\( BH^2 + 144 = 169 \).
Вычтем \( 144 \) из обеих частей уравнения:
\( BH^2 = 169 — 144 \).
\( BH^2 = 25 \).
Извлечем корень:
\( BH = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \).

3. Теперь найдем тригонометрические функции угла \( \angle CBH \):
\( \sin \angle CBH = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{KE}{BC} = \frac{12}{13} \).
\( \cos \angle CBH = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC} = \frac{5}{13} \).
\( \tan \angle CBH = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{KE}{BH} = \frac{12}{5} \).
\( \cot \angle CBH = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{BH}{KE} = \frac{5}{12} \).

4. Ответ:
\( \sin \angle CBH = \frac{12}{13} \),
\( \cos \angle CBH = \frac{5}{13} \),
\( \tan \angle CBH = \frac{12}{5} \),
\( \cot \angle CBH = \frac{5}{12} \).