ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Основания равнобокой трапеции равны \(8 \, \text{см}\) и \(12 \, \text{см}\), а угол при основании — \(45^\circ\). Найдите высоту и боковую сторону трапеции.

1. \( KD = \frac{12 — 8}{2} = 2 \, \text{см} \)
2. \( CK = KO = 2 \, \text{см} \)
3. \( CD = \sqrt{CK^2 + KO^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см} \)

1. Рассмотрим равнобедренную трапецию \( ABCD \), где основания \( AB = 12 \, \text{см} \) и \( CD = 8 \, \text{см} \), а угол при основании \( \angle DAB = 45^\circ \). Нам нужно найти высоту \( h \) и боковую сторону \( BC \).

2. Для удобства опустим перпендикуляры \( DK \) и \( CM \) из вершин \( D \) и \( C \) на большее основание \( AB \). Эти перпендикуляры делят \( AB \) на три отрезка: \( AK \), \( KM \) и \( MB \), где \( AK = MB \) (так как трапеция равнобедренная), а \( KM = CD = 8 \, \text{см} \).

3. Найдем длину отрезков \( AK \) и \( MB \).
\( AB = AK + KM + MB \),
где \( KM = CD = 8 \, \text{см} \), а \( AK = MB \).
Тогда \( AK + MB = AB — KM = 12 — 8 = 4 \, \text{см} \).
Так как \( AK = MB \), то \( AK = MB = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см} \).

4. Треугольник \( \triangle ADK \) прямоугольный, так как \( DK \perp AB \). Угол \( \angle DAK = 45^\circ \), поэтому \( \triangle ADK \) является равнобедренным. Следовательно, \( DK = AK \).
Получаем \( DK = AK = 2 \, \text{см} \).

5. Высота трапеции \( h = DK \).
Значит, \( h = 2 \, \text{см} \).

6. Теперь найдем боковую сторону \( BC \). Треугольник \( \triangle BMC \) также прямоугольный, и \( \angle MBC = 45^\circ \). Так как \( \triangle BMC \) равнобедренный, то \( CM = MB \).
Из предыдущих вычислений \( MB = 2 \, \text{см} \), значит, \( CM = 2 \, \text{см} \).

7. Найдем гипотенузу \( BC \) в треугольнике \( \triangle BMC \) по теореме Пифагора:
\( BC = \sqrt{CM^2 + MB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см} \).

Ответ: \( h = 2 \, \text{см}, \, BC = 2\sqrt{2} \, \text{см} \).