ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна \(a\). Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен \(30^\circ\).

Пусть стороны параллелограмма \(AB = a\), \(AD = b\). Диагональ \(AC = a\), угол \(\angle CAD = 30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ACD\):
\(\cos 30^\circ = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a \cdot \cos 30^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь найдем \(AB\):
\(\sin 30^\circ = \frac{AB}{a} \Rightarrow AB = a \cdot \sin 30^\circ = a \cdot \frac{1}{2}\).

Ответ:
Стороны параллелограмма: \(AB = \frac{a}{2}\), \(AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где диагональ \(AC\) перпендикулярна стороне \(AB\) и равна \(a\). Один из углов параллелограмма, \(\angle CAD\), равен \(30^\circ\). Требуется найти длины сторон \(AB\) и \(AD\).

1. Диагональ \(AC\) делит параллелограмм на два равных прямоугольных треугольника: \(\triangle ACD\) и \(\triangle ABC\). Рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\), где:
— гипотенуза \(AC = a\),
— угол \(\angle CAD = 30^\circ\),
— катеты \(AD\) и \(CD\).

2. Используем тригонометрическую функцию косинуса для нахождения длины катета \(AD\), прилежащего к углу \(30^\circ\):
\(
\cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AD}{AC}.
\)
Подставляем известные значения:
\(
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad AC = a.
\)
Тогда:
\(
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AD}{a}.
\)
Умножим обе части уравнения на \(a\):
\(
AD = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

3. Теперь используем тригонометрическую функцию синуса для нахождения длины катета \(CD\), противолежащего углу \(30^\circ\):
\(
\sin 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AC}.
\)
Подставляем известные значения:
\(
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad AC = a.
\)
Тогда:
\(
\frac{1}{2} = \frac{CD}{a}.
\)
Умножим обе части уравнения на \(a\):
\(
CD = a \cdot \frac{1}{2}.
\)

4. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, стороны \(AB\) и \(CD\) равны, а также стороны \(AD\) и \(BC\) равны. Таким образом, длина стороны \(AB\) равна длине катета \(CD\), а длина стороны \(AD\) уже найдена выше.

Итог:
\(
AB = \frac{a}{2}, \quad AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
\)