ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сторона ромба равна \(a\), а один из его углов — \(60^\circ\). Найдите диагонали ромба.

Сторона ромба \(a\), угол \(60^\circ\). Найти диагонали.

Решение:
\(\angle AOB = 30^\circ \Rightarrow AO = \frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow AE = \frac{a}{2}; EO = \frac{a}{2}\)
\(BD = 2 \cdot EO = a\sqrt{3}\)

Сторона ромба \(a\), угол \(60^\circ\). Найти диагонали.

Решение:

1. Рассмотрим ромб \(ABCD\), у которого все стороны равны \(a\). Известно, что один из углов равен \(60^\circ\).

2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам. Поэтому угол \(\angle AOB = 30^\circ\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\).

3. В треугольнике \(AOB\) стороны \(AO\) и \(BO\) являются половинами диагоналей ромба. Поскольку \(\angle AOB = 30^\circ\), треугольник \(AOB\) — прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой \(AB = a\).

4. По свойствам прямоугольного треугольника, катет \(AO\) (или \(BO\)) равен половине гипотенузы, умноженной на синус угла \(\angle AOB\):
\(
AO = BO = \frac{a}{2}
\)

5. Диагональ \(AC\) равна удвоенной длине \(AO\):
\(
AC = 2 \cdot AO = a
\)

6. Для нахождения диагонали \(BD\) используем теорему Пифагора в треугольнике \(AOB\):
\(
AB^2 = AO^2 + BO^2
\)

7. Подставляем значения:
\(
a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\)

8. Упрощаем:
\(
a^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}
\)

9. Решаем уравнение для \(BD\):
\(
BD = 2 \cdot BO = a\sqrt{3}
\)

Итак, диагонали ромба равны \(AC = a\) и \(BD = a\sqrt{3}\).