ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Высота \(BD\) треугольника \(ABC\) делит сторону \(AC\) на отрезки \(AD\) и \(CD\) так, что \(AD = 12 \, \text{см}\), \(CD = 4 \, \text{см}\). Найдите сторону \(BC\), если \(\angle A = 30^\circ\).
1. В \(\triangle ABD\): \(\tan 30^\circ = \frac{BD}{AD}\), откуда \(BD = AD \cdot \tan 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\) (см).
2. В \(\triangle BDC\): \(BC^2 = BD^2 + CD^2\), откуда \(BC = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8\) (см).
Ответ: \(BC = 8\) (см).
1. Рассмотрим \(\triangle ABD\), где угол \(\angle A = 30^\circ\). По определению тангенса:
\(\tan \angle A = \frac{BD}{AD}\).
Подставляем известные значения:
\(\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, \, AD = 12\).
Следовательно:
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{BD}{12}\).
Умножаем обе части на \(12\):
\(BD = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\) (см).
2. Теперь рассмотрим \(\triangle BDC\). Согласно теореме Пифагора:
\(BC^2 = BD^2 + CD^2\).
Подставляем значения:
\(BD = 4\sqrt{3}, \, CD = 4\). Тогда:
\(BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2\).
Вычислим квадраты:
\((4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48\),
\(4^2 = 16\).
Складываем:
\(BC^2 = 48 + 16 = 64\).
Извлекаем корень:
\(BC = \sqrt{64} = 8\) (см).
Ответ: \(BC = 8\) (см).
