ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.18 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высота \(AF\) делит сторону \(BC\) треугольника \(ABC\) на отрезки \(BF\) и \(CF\). Найдите сторону \(AC\), если \(CF = 13 \, \text{см}\), \(\angle B = 60^\circ\), а сторона \(AB\) равна \(18 \, \text{см}\).

1. \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( AF = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 18 = 9\sqrt{3} \, \text{см} \).

2. \( AC^2 = CF^2 + AF^2 \), \( AC^2 = 13^2 + (9\sqrt{3})^2 = 169 + 243 = 256 \).

3. \( AC = \sqrt{256} = 16 \, \text{см} \).

1. Высота \( AF \) делит сторону \( BC \) на отрезки \( BF \) и \( CF \), где \( CF = 13 \, \text{см} \), а угол \( \angle B = 60^\circ \). Нам нужно найти сторону \( AC \).

2. В треугольнике \( \triangle ABC \) высота \( AF \) опущена из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Поскольку угол \( \angle B = 60^\circ \), треугольник \( \triangle ABF \) является прямоугольным, а угол \( \angle ABF = 60^\circ \).

3. Используем определение синуса для угла \( 60^\circ \) в треугольнике \( \triangle ABF \):
\( \sin 60^\circ = \frac{AF}{AB} \).

4. Подставляем известные значения:
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, AB = 18 \, \text{см} \).

5. Найдем \( AF \):
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AF}{18} \).

6. Умножаем обе части уравнения на \( 18 \):
\( AF = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \, \text{см} \).

7. Теперь используем теорему Пифагора для треугольника \( \triangle ACF \), где \( AC \) — гипотенуза, \( AF \) и \( CF \) — катеты:
\( AC^2 = AF^2 + CF^2 \).

8. Подставляем значения:
\( AC^2 = (9\sqrt{3})^2 + 13^2 \).

9. Вычисляем квадраты:
\( (9\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243, \, 13^2 = 169 \).

10. Складываем:
\( AC^2 = 243 + 169 = 256 \).

11. Находим \( AC \), извлекая корень:
\( AC = \sqrt{256} = 16 \, \text{см} \).

12. Ответ: \( AC = 16 \, \text{см} \).