ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из точки \(D\), лежащей вне прямой \(l\), проведены к этой прямой наклонные \(DK\) и \(DB\), образующие с ней углы \(45^\circ\) и \(60^\circ\) соответственно. Найдите длину проекции наклонной \(DK\) на прямую \(l\), если \(DB = 10\sqrt{3} \, \text{см}\).

1. \( \sin 60^\circ = \frac{DH}{DB} \)
\( DH = \sin 60^\circ \cdot DB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} = 15 \, \text{см} \)

2. \( HK = DH = 15 \, \text{см} \)

1. Рассмотрим треугольник \( \triangle DBH \), где \( D \) — вершина наклонной \( DB \), \( H \) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \( D \) на прямую \( n \), а \( B \) — точка пересечения наклонной \( DB \) с прямой \( n \). Угол между наклонной \( DB \) и прямой \( n \) равен \( 60^\circ \).

Запишем тригонометрическое соотношение для синуса угла \( 60^\circ \):
\( \sin 60^\circ = \frac{DH}{DB} \),
где \( DH \) — длина перпендикуляра, опущенного из точки \( D \) на прямую \( n \), а \( DB \) — длина наклонной.

2. Выразим \( DH \) через известные величины:
\( DH = \sin 60^\circ \cdot DB \).

3. Подставим значение синуса угла \( 60^\circ \):
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Тогда:
\( DH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot DB \).

4. Подставим значение \( DB = 10\sqrt{3} \):
\( DH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} \).

5. Упростим выражение:
\( DH = \frac{\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 \, \text{см} \).

6. Таким образом, длина перпендикуляра \( DH \) равна \( 15 \, \text{см} \).

7. Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle DKH \), где \( D \) — вершина наклонной \( DK \), \( H \) — основание перпендикуляра, а \( K \) — точка пересечения наклонной \( DK \) с прямой \( n \). Угол между наклонной \( DK \) и прямой \( n \) равен \( 45^\circ \).

В данном треугольнике проекция наклонной \( DK \) на прямую \( n \) совпадает с длиной перпендикуляра \( DH \), так как угол между наклонной и прямой \( n \) равен \( 45^\circ \), а синус \( 45^\circ \) равен \( \cos 45^\circ \).

8. Следовательно, длина проекции наклонной \( DK \) на прямую \( n \) равна \( DH \):
\( HK = DH = 15 \, \text{см} \).

9. Ответ: \( HK = 15 \, \text{см} \).