ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из точки \(M\), лежащей вне прямой \(l\), проведены к этой прямой наклонные \(MN\) и \(MK\), образующие с ней углы \(30^\circ\) и \(45^\circ\) соответственно. Найдите наклонную \(MK\), если проекция наклонной \(MN\) на прямую \(l\) равна \(4/3 \, \text{см}\).

Найдём длину наклонной \( MK \).

1. Известно, что проекция наклонной \( MN \) равна \( 4/3 \) см, и угол наклона \( MN \) составляет \( 30^\circ \). Используем формулу тангенса:

\(
\text{tg } 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MN}{4/3}
\)

\(
MN = \frac{4/3}{\text{tg } 30^\circ} = \frac{4/3}{\sqrt{3}/3} = 4 \text{ см}
\)

2. Теперь найдём \( MK \), зная, что угол наклона \( MK \) составляет \( 45^\circ \):

\(
\text{tg } 45^\circ = \frac{MK}{4/3}
\)

\(
MK = \frac{4/3}{1} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ см}
\)

1. Дано, что проекция наклонной \( MN \) на прямую \( l \) равна \( \frac{4}{3} \) см, и угол между наклонной \( MN \) и прямой \( l \) составляет \( 30^\circ \). Чтобы найти длину наклонной \( MN \), используем тригонометрическое соотношение, связанное с тангенсом угла. Тангенс угла \( \theta \) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае:

\(
\text{tg } 30^\circ = \frac{\text{длина проекции } MN}{MN}
\)

Известно, что \(\text{tg } 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Подставляем известные значения:

\(
\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{4}{3}}{MN}
\)

Решаем уравнение для \( MN \):

\(
MN = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}
\)

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) для рационализации знаменателя:

\(
MN = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{3} = 4 \text{ см}
\)

2. Теперь необходимо найти длину наклонной \( MK \), зная, что угол наклона \( MK \) составляет \( 45^\circ \). Для этого снова используем тангенс угла. Поскольку \(\text{tg } 45^\circ = 1\), то:

\(
\text{tg } 45^\circ = \frac{\text{длина проекции } MK}{MK}
\)

Подставим известное значение проекции, равное \(\frac{4}{3}\) см:

\(
1 = \frac{\frac{4}{3}}{MK}
\)

Решаем уравнение для \( MK \):

\(
MK = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см}
\)