ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.21 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(\beta\), высота, проведённая к боковой стороне, равна \(h\). Найдите основание треугольника.

\( 1. \text{Рассмотрим треугольник } ABC, \text{ где } AB = AC, \text{ а угол при вершине } A \text{ равен } \beta. \)

\( 2. \text{Проведем высоту } h \text{ из точки } A \text{ на сторону } BC. \text{ Она делит угол } \beta \text{ пополам\)

\( и основание } BC \text{ на два равных отрезка.} \)

\( 3. \text{Рассмотрим прямоугольный треугольник } ACD, \text{ где } AD = h, \text{ а } CD = \frac{BC}{2}. \)

\( 4. \text{Используем тангенс: } \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{h}{\frac{BC}{2}}. \)

\( 5. \text{Упростим: } \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{2h}{BC}. \)

\( 6. \text{Выразим } BC: BC = \frac{2h}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)}. \)

\( 7. \text{Так как } AC = BC, \text{ то } AC = \frac{2h}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)}. \)

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = AC \), а угол при вершине \( A \) равен \( \beta \). Проведем высоту \( h \) из вершины \( A \) на сторону \( BC \). Высота делит угол \( \beta \) пополам, а основание \( BC \) на два равных отрезка.

Обозначим точку пересечения высоты \( AD \) с основанием \( BC \) как \( D \). Тогда \( BD = DC = \frac{BC}{2} \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACD \), в котором \( AD = h \), \( CD = \frac{BC}{2} \), а угол при вершине \( A \) равен \( \frac{\beta}{2} \).

Используем определение тангенса для угла \( \frac{\beta}{2} \) в прямоугольном треугольнике \( ACD \):
\(
\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AD}{CD}.
\)
Подставляем значения:
\(
\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{h}{\frac{BC}{2}}.
\)
Упростим выражение:
\(
\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{2h}{BC}.
\)
Выразим \( BC \) через известные величины:
\(
BC = \frac{2h}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)}.
\)
Так как \( AB = AC \), то \( AB = AC = \frac{2h}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)} \).

Ответ: основание треугольника \( BC = \frac{2h}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)} \).