ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна \(h\), острый угол равен \(\gamma\). Найдите стороны треугольника.

1. \( AC = \frac{h}{\sin\alpha} \)
2. \( BC = \frac{h}{\cos\alpha} \)
3. \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{\frac{h^2}{\sin^2\alpha} + \frac{h^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{h}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{h}{\sin(2\alpha)/2} = \frac{2h}{\sin(2\alpha)} \)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), в котором угол \( \angle ACB = 90^\circ \), высота \( h \) проведена из вершины прямого угла \( C \), а острый угол \( \alpha = \angle CAB \). Требуется найти длины сторон треугольника \( AC \), \( BC \) и гипотенузы \( AB \).

2. Воспользуемся тригонометрическими функциями.
Сначала найдем длину катета \( AC \), который лежит напротив угла \( \alpha \).
Из определения синуса угла:
\( \sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).
В данном случае высота \( h \) является проекцией гипотенузы \( AB \) на сторону \( AC \). Следовательно:
\( AC = \frac{h}{\sin\alpha} \).

3. Далее найдем длину катета \( BC \), который прилегает к углу \( \alpha \).
Из определения тангенса угла:
\( \tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).
Подставим ранее найденное значение \( AC \):
\( \tan\alpha = \frac{AC}{BC} \).
Перемножим и выразим \( BC \):
\( BC = \frac{h}{\cos\alpha} \).

4. Теперь вычислим гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора:
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
Подставим значения \( AC \) и \( BC \):
\( AB^2 = \left(\frac{h}{\sin\alpha}\right)^2 + \left(\frac{h}{\cos\alpha}\right)^2 \).
Преобразуем выражение:
\( AB^2 = \frac{h^2}{\sin^2\alpha} + \frac{h^2}{\cos^2\alpha} \).
Вынесем \( h^2 \) за скобки:
\( AB^2 = h^2 \left(\frac{1}{\sin^2\alpha} + \frac{1}{\cos^2\alpha}\right) \).
Используем основное тригонометрическое тождество:
\( \frac{1}{\sin^2\alpha} + \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} \).
Тогда:
\( AB^2 = \frac{h^2}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} \).
Возьмем корень из обеих частей уравнения:
\( AB = \frac{h}{\sin\alpha\cos\alpha} \).
Используем формулу двойного угла:
\( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \).
Следовательно:
\( AB = \frac{2h}{\sin(2\alpha)} \).

5. Ответ:
\( AC = \frac{h}{\sin\alpha} \),
\( BC = \frac{h}{\cos\alpha} \),
\( AB = \frac{2h}{\sin(2\alpha)} \).