ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Большая диагональ ромба равна \(d\), а острый угол равен \(\alpha\). Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.
Большая диагональ ромба \( d \) делит его на два равнобедренных треугольника. Угол между стороной и половиной большей диагонали равен \( \frac{\alpha}{2} \). Сторона ромба находится через косинус угла, а меньшая диагональ — через тангенс.
1. Сторона ромба:
\(
AB = \frac{d}{2} \cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
2. Меньшая диагональ:
\(
BD = d \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
Ответ:
\(
\frac{d}{2} \cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right), \, d \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
Большая диагональ ромба равна \( d \), а острый угол равен \( \alpha \). Найдите сторону и меньшую диагональ ромба.
1. Сторона ромба:
Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \), где \( O \) — точка пересечения диагоналей ромба, \( AB \) — сторона ромба, а \( AO = \frac{d}{2} \) — половина большей диагонали.
Из свойств ромба известно, что диагонали делят его углы пополам. Поэтому в треугольнике \( \triangle AOB \):
— \( \angle AOB = \frac{\alpha}{2} \)
— \( AO = \frac{d}{2} \)
Используем косинус угла \( \frac{\alpha}{2} \):
\(
\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{AO}{AB}
\)
где \( AO = \frac{d}{2} \).
Тогда:
\(
AB = AO \cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{d}{2} \cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
2. Меньшая диагональ ромба:
Меньшая диагональ \( BD \) равна двум длинам \( BO \), где \( BO \) можно найти через тангенс угла \( \frac{\alpha}{2} \):
\(
\tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{BO}{AO}
\)
Подставляем \( AO = \frac{d}{2} \):
\(
BO = AO \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{d}{2} \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
Меньшая диагональ:
\(
BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right) = d \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
Итоговые формулы:
— Сторона ромба:
\(
AB = \frac{d}{2} \cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
— Меньшая диагональ ромба:
\(
BD = d \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
Ответ:
\(
\frac{d}{2} \cdot \cos \left( \frac{\alpha}{2} \right), \, d \cdot \tan \left( \frac{\alpha}{2} \right)
\)
