ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Острый угол ромба равен \(\alpha\), радиус вписанной окружности — \(r\). Найдите сторону и диагонали ромба.

Сторона ромба \( AB \):

В треугольнике \( \triangle ABO \) сторона \( AB \) является гипотенузой. По определению синуса:

\( \sin(\alpha) = \frac{OH}{AB} \)

Отсюда:

\( AB = \frac{r}{\sin(\alpha)} \)

Диагональ \( BD \):

Диагональ \( BD \) состоит из двух отрезков \( BO \), где \( BO = \frac{r}{\sin(\alpha)} \). Тогда:

\( BD = 2 \cdot BO = \frac{2r}{\sin(\alpha)} \)

Диагональ \( AC \):

В треугольнике \( \triangle AOC \) высота \( OH = r \), а угол у вершины \( O \) равен \( \alpha \). Тогда:

\( AC = 2r \cdot \tan(\alpha) \)

Рассмотрим ромб с острым углом \( \alpha \) и радиусом вписанной окружности \( r \). Нам нужно найти сторону ромба \( AB \) и его диагонали \( BD \) и \( AC \). Решение разбиваем на несколько шагов.

1. Найдем диагональ \( BD \):

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \), где \( O \) — точка пересечения диагоналей ромба. Радиус вписанной окружности \( r \) равен расстоянию от центра \( O \) до стороны ромба, то есть высоте \( OH \) в этом треугольнике.

По определению синуса:
\(
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{OH}{BO} = \frac{r}{BO}
\)
Отсюда:
\(
BO = \frac{r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\)

Диагональ \( BD \) состоит из двух таких отрезков \( BO \), поэтому:
\(
BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot \frac{r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{2r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\)

2. Найдем диагональ \( AC \):

Рассмотрим тот же треугольник \( \triangle ABO \). В этом треугольнике высота \( OH = r \), а основание \( AH \) можно найти через тангенс половины угла \( \alpha \). По определению тангенса:
\(
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{AH}{OH} = \frac{AH}{r}
\)
Отсюда:
\(
AH = r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\)

Диагональ \( AC \) состоит из двух таких отрезков \( AH \), поэтому:
\(
AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\)

3. Найдем сторону ромба \( AB \):

В треугольнике \( \triangle ABO \) сторона \( AB \) является гипотенузой. По определению синуса:
\(
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{OH}{AB} = \frac{r}{AB}
\)
Отсюда:
\(
AB = \frac{r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\)

Проверим это через косинус. По определению косинуса:
\(
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{AO}{AB}
\)
Отсюда:
\(
AO = AB \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\)

Также из треугольника \( \triangle ABO \):
\(
AB^2 = AO^2 + OH^2
\)
Подставляя \( AO = AB \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \) и \( OH = r \), получаем:
\(
AB^2 = \left(AB \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 + r^2
\)
Раскрыв скобки и упростив, приходим к тому же результату:
\(
AB = \frac{r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\)

Итак, итоговые формулы для стороны и диагоналей ромба:

\( AB = \frac{r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}, BD = \frac{2r}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}, AC = 2r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \)