ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол \(30^\circ\). Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен \(R\).

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол \( 30^\circ \). Пусть радиус окружности, описанной около трапеции, равен \( R \). Требуется найти высоту трапеции \( h \).

1. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и частью основания. Этот треугольник является прямоугольным, так как диагональ перпендикулярна боковой стороне.

2. В данном треугольнике угол между диагональю и основанием равен \( 30^\circ \). Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, прилежащий к углу \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы:
\(
h = \frac{1}{2} \cdot d,
\)
где \( d \) — диагональ трапеции.

3. Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен половине диагонали:
\(
R = \frac{1}{2} \cdot d.
\)

4. Из последнего выражения находим диагональ:
\(
d = 2R.
\)

5. Подставляем значение диагонали \( d = 2R \) в формулу для высоты:
\(
h = \frac{1}{2} \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 2R = R.
\)

Итак, высота трапеции равна \( R \).

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол \(30^\circ\). Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен \(R\). Требуется найти высоту трапеции \(h\).

1. Анализ задачи и геометрическая интерпретация:

Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\), где \(AB\) и \(CD\) — основания, \(AD = BC\) — боковые стороны. Диагональ \(BD\) перпендикулярна боковой стороне \(AD\) и образует угол \(30^\circ\) с основанием \(CD\). Нам нужно найти высоту трапеции \(h\), которая равна расстоянию между основаниями \(AB\) и \(CD\).

2. Свойства прямоугольного треугольника:

Диагональ \(BD\) вместе с высотой \(h\) и частью основания \(CD\) образует прямоугольный треугольник \(BDE\), где:
— \(BDE\) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \(E\),
— угол \( \angle BDE = 30^\circ \),
— гипотенуза \(BD = d\),
— катет \(BE = h\) (высота трапеции).

3. Используем свойства угла \(30^\circ\):

В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов равен \(30^\circ\), катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Таким образом:
\(
h = \frac{1}{2} \cdot BD.
\)

4. Связь диагонали и радиуса окружности:

Согласно свойству описанной окружности, радиус \(R\) равен половине длины диагонали:
\(
R = \frac{1}{2} \cdot BD.
\)

Отсюда выражаем диагональ \(BD\):
\(
BD = 2R.
\)

5. Подставляем значение диагонали в формулу для высоты:

Подставляем \(BD = 2R\) в формулу \(h = \frac{1}{2} \cdot BD\):
\(
h = \frac{1}{2} \cdot 2R.
\)

6. Упрощаем выражение:

Упрощая, получаем:
\(
h = R.
\)

7. Итог:

Высота трапеции равна радиусу окружности, описанной вокруг трапеции:
\(
h = R.
\)