ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Одна из сторон треугольника равна \(a\), прилежащие к ней углы равны \(45^\circ\) и \(60^\circ\). Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

1. Пусть \( AC = x \), тогда \( BC = a — x \).
2. В треугольнике \( ABC \):
\( \tan 60^\circ = \frac{BH}{HC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{BH}{x} \).
Отсюда: \( BH = x\sqrt{3} \).
3. В треугольнике \( ABH \):
\( \tan 45^\circ = \frac{BH}{AH} \Rightarrow 1 = \frac{x\sqrt{3}}{a — x} \).
Отсюда: \( x\sqrt{3} = a — x \).
4. Решаем уравнение:
\( x\sqrt{3} + x = a \Rightarrow x(\sqrt{3} + 1) = a \Rightarrow x = \frac{a}{\sqrt{3} + 1} \).
5. Упрощаем \( x \):
\( x = \frac{a}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} — 1} = \frac{a(\sqrt{3} — 1)}{3 — 1} = \frac{a(\sqrt{3} — 1)}{2} \).
6. Высота \( BH \):
\( BH = x\sqrt{3} = \frac{a(\sqrt{3} — 1)}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a(3 — \sqrt{3})}{2} \).

Ответ: \( \frac{a(3 — \sqrt{3})}{2} \).

Пусть \( AC = x \), тогда \( BC = a — x \). Это следует из того, что \( AB = AC + BC \), а длина \( AB \) равна \( a \). Таким образом, длины отрезков \( AC \) и \( BC \) связаны соотношением \( AC + BC = a \), откуда \( BC = a — x \).

В треугольнике \( ABC \) угол \( \angle ACB = 60^\circ \). Высота \( BH \), опущенная из вершины \( B \) на сторону \( AC \), делит угол \( \angle ACB \) пополам, так как \( \triangle ABC \) является равносторонним. Следовательно, можно использовать тангенс угла \( 60^\circ \) для нахождения отношения между высотой \( BH \) и отрезком \( HC \). По определению тангенса:
\(\tan 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{HC}\).

Подставляем значение тангенса угла \( 60^\circ \):
\(\sqrt{3} = \frac{BH}{x}\),
где \( HC = x \), так как высота делит сторону \( AC \) на две равные части. Умножим обе стороны на \( x \):
\(BH = x\sqrt{3}\).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABH \), в котором угол \( \angle ABH = 45^\circ \). Используем определение тангенса угла \( 45^\circ \):
\(\tan 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH}\).

Подставляем значение тангенса угла \( 45^\circ \):
\(1 = \frac{BH}{AH}\).
Выразим \( AH \):
\(AH = BH\).

Подставим значение \( BH = x\sqrt{3} \) из предыдущего шага:
\(AH = x\sqrt{3}\).

Теперь выразим \( AH \) через \( a \) и \( x \). Поскольку \( AH = AB — BH \), то:
\(AH = a — x\).

Приравниваем два выражения для \( AH \):
\(x\sqrt{3} = a — x\).

Решаем это уравнение относительно \( x \):
\(x\sqrt{3} + x = a\).
Вынесем \( x \) за скобки:
\(x(\sqrt{3} + 1) = a\).
Разделим обе стороны на \( \sqrt{3} + 1 \):
\(x = \frac{a}{\sqrt{3} + 1}\).

Для упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3} — 1 \):
\(x = \frac{a}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} — 1} = \frac{a(\sqrt{3} — 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} — 1)}\).

В знаменателе используем формулу разности квадратов:
\((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} — 1) = (\sqrt{3})^2 — 1^2 = 3 — 1 = 2\).

Тогда:
\(x = \frac{a(\sqrt{3} — 1)}{2}\).

Теперь найдем высоту \( BH \). Мы уже знаем, что \( BH = x\sqrt{3} \). Подставим найденное значение \( x \):
\(BH = \frac{a(\sqrt{3} — 1)}{2} \cdot \sqrt{3}\).

Раскроем скобки:
\(BH = \frac{a(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — \sqrt{3})}{2} = \frac{a(3 — \sqrt{3})}{2}\).

Ответ: \( \frac{a(3 — \sqrt{3})}{2} \).