ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Основания трапеции равны \(7 \, \text{см}\) и \(15 \, \text{см}\), а углы при большем основании — \(30^\circ\) и \(60^\circ\). Найдите высоту и диагонали трапеции.
1. \( BK + KP = 15 — 7 = 8 \, (\text{см}) \)
2. \( BK = x \); \( KP = 8 — x \)
3. В \(\triangle ABK\):
\( \tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} \)
4. В \(\triangle CDP\):
\( \tan 30^\circ = \frac{h}{8 — x} \Rightarrow 8 — x = \frac{3h}{\sqrt{3}} \)
\( \Rightarrow CD = 6 \, (\text{см}) \); \( KP = 2 \, (\text{см}) \)
5. \( BU = \tan 60^\circ \cdot 2 = 2\sqrt{3} \, (\text{см}) \)
6. \( BD = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \, (\text{см}) \)
7. \( AC = \sqrt{169 + 12} = \sqrt{181} \, (\text{см}) \)
1. \( BK + KP = 15 — 7 = 8 \, (\text{см}) \) так как длина отрезка \( BP \) равна разности высот башен \( AB \) и \( CD \), следовательно, составляющие этого отрезка \( BK \) и \( KP \) в сумме дают \( 8 \, \text{см} \)
2. Обозначим \( BK = x \); тогда \( KP = 8 — x \), где \( x \) представляет часть высоты от точки \( K \) до основания башни \( AB \), а \( 8 — x \) — часть от точки \( K \) до вершины меньшей башни \( C \)
3. В прямоугольном треугольнике \( ABK \):
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} \), где \( h \) — это высота меньшей башни \( CD \), а угол наклона \( 60^\circ \) определяет соотношение между катетами
4. В прямоугольном треугольнике \( CDP \):
\( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{8 — x} \Rightarrow 8 — x = \frac{3h}{\sqrt{3}} \)
Подставляем \( x = \frac{h}{\sqrt{3}} \):
\( 8 — \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{3h}{\sqrt{3}} \Rightarrow 8 = \frac{4h}{\sqrt{3}} \Rightarrow h = 2\sqrt{3} \, (\text{см}) \)
Тогда \( CD = h = 2\sqrt{3} \approx 6 \, (\text{см}) \), а \( KP = 8 — x = 2 \, (\text{см}) \)
5. Вычислим \( BU \):
\( BU = \tan 60^\circ \cdot KP = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3} \, (\text{см}) \), где \( BU \) — это высота, проведенная из вершины \( B \) к плоскости основания
6. Находим длину диагонали \( BD \):
\( BD = \sqrt{(AB — CD)^2 + BU^2} = \sqrt{(15 — 6)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9^2 + (2\sqrt{3})^2} =\)
\(= \sqrt{81 + 12} = \sqrt{93} \, (\text{см}) \)
7. Вычислим длину диагонали \( AC \):
\( AC = \sqrt{169 + 12} = \sqrt{181} \, (\text{см}) \)
