ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(17 \, \text{см}\), а синус одного из острых углов — \(\frac{8}{17}\). Найдите катеты треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза \( AB = 17 \, \text{см} \), синус угла \( C \) равен \( \sin C = \frac{8}{17} \).

1. Находим катет \( AC \):
\[
AC = AB \cdot \sin C = 17 \cdot \frac{8}{17} = 8 \, \text{см}.
\]

2. Находим катет \( BC \) по теореме Пифагора:
\[
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15 \, \text{см}.
\]

Ответ: \( AC = 8 \, \text{см}, \, BC = 15 \, \text{см} \).

В прямоугольном треугольнике гипотенуза \( AB = 17 \, \text{см} \), синус угла \( C \) равен \( \sin C = \frac{8}{17} \). Необходимо найти катеты \( AC \) и \( BC \).

1. Используем определение синуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:
\(
\sin C = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.
\)
В данном случае противолежащий катет — это \( AC \), а гипотенуза — \( AB \). Тогда:
\(
\sin C = \frac{AC}{AB}.
\)
Подставляем известные значения:
\(
\frac{8}{17} = \frac{AC}{17}.
\)

2. Находим длину катета \( AC \), умножив обе стороны уравнения на \( 17 \):
\(
AC = 17 \cdot \frac{8}{17}.
\)
Сокращаем \( 17 \) в числителе и знаменателе:
\(
AC = 8 \, \text{см}.
\)

3. Теперь находим второй катет \( BC \) с использованием теоремы Пифагора. Теорема Пифагора гласит:
\(
AB^2 = AC^2 + BC^2.
\)
Подставляем известные значения:
\(
17^2 = 8^2 + BC^2.
\)
Вычисляем квадраты чисел:
\(
289 = 64 + BC^2.
\)

4. Выражаем \( BC^2 \), вычитая \( 64 \) из \( 289 \):
\(
BC^2 = 289 — 64.
\)
Выполняем вычитание:
\(
BC^2 = 225.
\)

5. Находим \( BC \), извлекая квадратный корень из \( 225 \):
\(
BC = \sqrt{225}.
\)
Вычисляем:
\(
BC = 15 \, \text{см}.
\)

Ответ: \( AC = 8 \, \text{см}, \, BC = 15 \, \text{см} \).