ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(10 \, \text{см}\), а косинус одного из острых углов — \(0,8\). Найдите катеты треугольника.

1. \(AC = \cos \angle C \cdot AB = 0{,}8 \cdot 10 = 8 \, \text{см}\).
2. \(BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6 \, \text{см}\).

Ответ: \(AC = 8 \, \text{см}, \, BC = 6 \, \text{см}\).

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. Катеты — это стороны, которые образуют прямой угол.

2. Формула для нахождения длины катета через косинус угла:
\(\cos \angle C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).
В данном случае прилежащим катетом является \(AC\), а гипотенуза — \(AB\). Подставляем известные значения:
\(\cos \angle C = \frac{AC}{AB}\).

3. Выразим \(AC\):
\(AC = \cos \angle C \cdot AB\).

4. Подставляем значения \(\cos \angle C = 0{,}8\) и \(AB = 10\):
\(AC = 0{,}8 \cdot 10 = 8 \, \text{см}\).

5. Теперь находим второй катет \(BC\) с использованием теоремы Пифагора:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\).

6. Выразим \(BC^2\):
\(BC^2 = AB^2 — AC^2\).

7. Подставляем значения \(AB = 10\) и \(AC = 8\):
\(BC^2 = 10^2 — 8^2\).

8. Выполним возведение в квадрат:
\(10^2 = 100\), \(8^2 = 64\).

9. Вычтем:
\(BC^2 = 100 — 64 = 36\).

10. Найдем \(BC\), извлекая квадратный корень:
\(BC = \sqrt{36} = 6 \, \text{см}\).

Ответ: \(AC = 8 \, \text{см}, \, BC = 6 \, \text{см}\).