ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.7 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите прямоугольный треугольник:

1) по гипотенузе и острому углу: \(c = 28 \, \text{см}\), \(\alpha = 48^\circ\);

2) по катету и острому углу: \(a = 56 \, \text{см}\), \(\beta = 74^\circ\);

3) по катету и гипотенузе: \(a = 5 \, \text{см}\), \(c = 9 \, \text{см}\);

4) по двум катетам: \(a = 3 \, \text{см}\), \(b = 7 \, \text{см}\).

1) \(a = c \cdot \cos(\alpha) = 28 \cdot 0.74 = 20.72 \, \text{см}\)
\(b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{784 — 429} = 18.81 \, \text{см}\)
\(\beta = 90^\circ — \alpha = 90^\circ — 48^\circ = 42^\circ\)

2) \(\beta = 90^\circ — \alpha = 90^\circ — 74^\circ = 16^\circ\)
\(c = a / \cos(\alpha) = 56 / 0.17 = 329 \, \text{см}\)
\(b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{108241 — 3136} = \sqrt{105105} \approx 324 \, \text{см}\)

3) \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{56} \approx 7.5 \, \text{см}\)
\(\cos(\beta) = b / c = 5 / 9 \approx 0.55 \Rightarrow \beta \approx 56^\circ\)
\(\alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 56^\circ = 34^\circ\)

4) \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.6 \, \text{см}\)
\(\tan(\alpha) = a / b = 3 / 7 \approx 0.43 \Rightarrow \alpha \approx 23^\circ\)
\(\beta = 90^\circ — \alpha = 90^\circ — 23^\circ = 67^\circ\)

1) Рассмотрим первый треугольник, где дана гипотенуза \(c = 28 \, \text{см}\) и угол \(\alpha = 48^\circ\). Необходимо найти катеты \(a\) и \(b\), а также второй угол \(\beta\).

— Сначала найдем первый катет \(a\), который прилегает к углу \(\alpha\). По определению косинуса:
\(
\cos(\alpha) = \frac{a}{c}.
\)
Отсюда выражаем \(a\):
\(
a = c \cdot \cos(\alpha).
\)
Подставляем значения:
\(
a = 28 \cdot \cos(48^\circ).
\)
Значение \(\cos(48^\circ)\) равно \(0.74\) (по таблице тригонометрических значений). Тогда:
\(
a = 28 \cdot 0.74 = 20.72 \, \text{см}.
\)

— Теперь найдем второй катет \(b\), который противоположен углу \(\alpha\). Для этого используем теорему Пифагора:
\(
c^2 = a^2 + b^2.
\)
Выразим \(b^2\):
\(
b^2 = c^2 — a^2.
\)
Подставляем значения:
\(
b^2 = 28^2 — 20.72^2.
\)
Вычисляем:
\(
28^2 = 784, \quad 20.72^2 = 429.1584.
\)
Тогда:
\(
b^2 = 784 — 429.1584 = 354.8416.
\)
Извлекаем корень:
\(
b = \sqrt{354.8416} \approx 18.81 \, \text{см}.
\)

— Найдем угол \(\beta\). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), то:
\(
\beta = 90^\circ — \alpha.
\)
Подставляем значение \(\alpha\):
\(
\beta = 90^\circ — 48^\circ = 42^\circ.
\)

Ответ: \(a = 20.72 \, \text{см}\), \(b = 18.81 \, \text{см}\), \(\beta = 42^\circ\).

—

2) Рассмотрим второй треугольник, где дан катет \(a = 56 \, \text{см}\) и угол \(\alpha = 74^\circ\). Необходимо найти гипотенузу \(c\), второй катет \(b\) и угол \(\beta\).

— Сначала найдем гипотенузу \(c\). По определению косинуса:
\(
\cos(\alpha) = \frac{a}{c}.
\)
Выразим \(c\):
\(
c = \frac{a}{\cos(\alpha)}.
\)
Подставляем значения:
\(
c = \frac{56}{\cos(74^\circ)}.
\)
Значение \(\cos(74^\circ)\) равно \(0.2756\) (по таблице тригонометрических значений). Тогда:
\(
c = \frac{56}{0.2756} \approx 329 \, \text{см}.
\)

— Теперь найдем второй катет \(b\). Для этого снова используем теорему Пифагора:
\(
c^2 = a^2 + b^2.
\)
Выразим \(b^2\):
\(
b^2 = c^2 — a^2.
\)
Подставляем значения:
\(
b^2 = 329^2 — 56^2.
\)
Вычисляем:
\(
329^2 = 108241, \quad 56^2 = 3136.
\)
Тогда:
\(
b^2 = 108241 — 3136 = 105105.
\)
Извлекаем корень:
\(
b = \sqrt{105105} \approx 324 \, \text{см}.
\)

— Найдем угол \(\beta\):
\(
\beta = 90^\circ — \alpha.
\)
Подставляем значение \(\alpha\):
\(
\beta = 90^\circ — 74^\circ = 16^\circ.
\)

Ответ: \(c = 329 \, \text{см}\), \(b = 324 \, \text{см}\), \(\beta = 16^\circ\).

—

3) Рассмотрим третий треугольник, где даны катеты \(a = 5 \, \text{см}\) и \(b = 9 \, \text{см}\). Необходимо найти гипотенузу \(c\), угол \(\alpha\) и угол \(\beta\).

— Сначала найдем гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора:
\(
c^2 = a^2 + b^2.
\)
Подставляем значения:
\(
c^2 = 5^2 + 9^2.
\)
Вычисляем:
\(
5^2 = 25, \quad 9^2 = 81.
\)
Тогда:
\(
c^2 = 25 + 81 = 106.
\)
Извлекаем корень:
\(
c = \sqrt{106} \approx 10.3 \, \text{см}.
\)

— Найдем угол \(\beta\). По определению косинуса:
\(
\cos(\beta) = \frac{b}{c}.
\)
Подставляем значения:
\(
\cos(\beta) = \frac{9}{10.3} \approx 0.8738.
\)
Используя таблицу косинусов, находим угол:
\(
\beta \approx 29^\circ.
\)

— Найдем угол \(\alpha\):
\(
\alpha = 90^\circ — \beta.
\)
Подставляем значение \(\beta\):
\(
\alpha = 90^\circ — 29^\circ = 61^\circ.
\)

Ответ: \(c \approx 10.3 \, \text{см}\), \(\alpha = 61^\circ\), \(\beta = 29^\circ\).

—

4) Рассмотрим четвертый треугольник, где даны катеты \(a = 3 \, \text{см}\) и \(b = 7 \, \text{см}\). Необходимо найти гипотенузу \(c\), угол \(\alpha\) и угол \(\beta\).

— Сначала найдем гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора:
\(
c^2 = a^2 + b^2.
\)
Подставляем значения:
\(
c^2 = 3^2 + 7^2.
\)
Вычисляем:
\(
3^2 = 9, \quad 7^2 = 49.
\)
Тогда:
\(
c^2 = 9 + 49 = 58.
\)
Извлекаем корень:
\(
c = \sqrt{58} \approx 7.6 \, \text{см}.
\)

— Найдем угол \(\alpha\). По определению тангенса:
\(
\tan(\alpha) = \frac{a}{b}.
\)
Подставляем значения:
\(
\tan(\alpha) = \frac{3}{7} \approx 0.4286.
\)
Используя таблицу тангенсов, находим угол:
\(
\alpha \approx 23^\circ.
\)

— Найдем угол \(\beta\):
\(
\beta = 90^\circ — \alpha.
\)
Подставляем значение \(\alpha\):
\(
\beta = 90^\circ — 23^\circ = 67^\circ.
\)

Ответ: \(c \approx 7.6 \, \text{см}\), \(\alpha = 23^\circ\), \(\beta = 67^\circ\).