ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 22.8 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите прямоугольный треугольник по известным элементам:

1) \(a = 34 \, \text{см}\), \(\alpha = 55^\circ\);

2) \(c = 16 \, \text{см}\), \(\beta = 18^\circ\);

3) \(b = 12 \, \text{см}\), \(c = 13 \, \text{см}\);

4) \(a = 4 \, \text{см}\), \(b = 14 \, \text{см}\).

1) \( c = \frac{a}{\cos \alpha} = \frac{34}{\cos 55^\circ} \approx 41,5 \, \text{см} \)
\( \beta = 90^\circ — \alpha = 90^\circ — 55^\circ = 35^\circ \)
\( b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{41,5^2 — 34^2} \approx 23,8 \, \text{см} \)

2) \( a = c \cdot \cos \beta = 16 \cdot \cos 18^\circ \approx 15 \, \text{см} \)
\( b = c \cdot \sin \beta = 16 \cdot \sin 18^\circ \approx 5 \, \text{см} \)
\( \alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 18^\circ = 72^\circ \)

3) \( a = \sqrt{c^2 — b^2} = \sqrt{13^2 — 12^2} = 5 \, \text{см} \)
\( \tan \beta = \frac{b}{c} = \frac{12}{13} \Rightarrow \beta \approx 23^\circ \)
\( \alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 23^\circ = 67^\circ \)

4) \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \approx 14,6 \, \text{см} \)
\( \tan \beta = \frac{a}{b} = \frac{4}{14} \Rightarrow \beta \approx 16^\circ \)
\( \alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 16^\circ = 74^\circ \)

1) Дано: \( a = 34 \, \text{см}, \, \alpha = 55^\circ \).
Найдем гипотенузу \( c \) по формуле:
\( c = \frac{a}{\cos \alpha} = \frac{34}{\cos 55^\circ} \approx 41,5 \, \text{см} \).
Найдем угол \( \beta \):
\( \beta = 90^\circ — \alpha = 90^\circ — 55^\circ = 35^\circ \).
Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора:
\( b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{41,5^2 — 34^2} = \sqrt{1722,25 — 1156} = \sqrt{566,25} \approx 23,8 \, \text{см} \).

2) Дано: \( c = 16 \, \text{см}, \, \beta = 18^\circ \).
Найдем катет \( a \):
\( a = c \cdot \cos \beta = 16 \cdot \cos 18^\circ \approx 15 \, \text{см} \).
Найдем катет \( b \):
\( b = c \cdot \sin \beta = 16 \cdot \sin 18^\circ \approx 5 \, \text{см} \).
Найдем угол \( \alpha \):
\( \alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 18^\circ = 72^\circ \).

3) Дано: \( b = 12 \, \text{см}, \, c = 13 \, \text{см} \).
Найдем катет \( a \) по теореме Пифагора:
\( a = \sqrt{c^2 — b^2} = \sqrt{13^2 — 12^2} = \sqrt{169 — 144} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \).
Найдем угол \( \beta \) через тангенс:
\( \tan \beta = \frac{b}{c} = \frac{12}{13} \Rightarrow \beta \approx 23^\circ \).
Найдем угол \( \alpha \):
\( \alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 23^\circ = 67^\circ \).

4) Дано: \( a = 4 \, \text{см}, \, b = 14 \, \text{см} \).
Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 14^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \approx 14,6 \, \text{см} \).
Найдем угол \( \beta \) через тангенс:
\( \tan \beta = \frac{a}{b} = \frac{4}{14} \Rightarrow \beta \approx 16^\circ \).
Найдем угол \( \alpha \):
\( \alpha = 90^\circ — \beta = 90^\circ — 16^\circ = 74^\circ \).