ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 23.1 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольника равна \(d\) и образует с одной из сторон угол \(\alpha\). Найдите площадь прямоугольника.

1. В \(\triangle BCD\):
\( \sin \alpha = \frac{BC}{d} \Rightarrow BC = d \sin \alpha \)
\( \cos \alpha = \frac{CD}{d} \Rightarrow CD = d \cos \alpha \)

2. Площадь прямоугольника:
\( S_{\text{прям}} = BC \cdot CD = (d \sin \alpha)(d \cos \alpha) = d^2 \sin \alpha \cos \alpha \)

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BCD \), где \( d \) является гипотенузой, а угол \( \alpha \) задан:
\( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{d} \Rightarrow BC = d \sin \alpha \)
Это означает, что длина стороны \( BC \) прямо пропорциональна синусу угла \( \alpha \) и гипотенузе \( d \).

2. Аналогично для второй стороны:
\( \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{d} \Rightarrow CD = d \cos \alpha \)
Здесь длина стороны \( CD \) прямо пропорциональна косинусу угла \( \alpha \) и гипотенузе \( d \).

3. Площадь прямоугольника определяется как произведение его сторон:
\( S_{\text{прям}} = BC \cdot CD \)
Подставляя значения \( BC \) и \( CD \):
\( S_{\text{прям}} = (d \sin \alpha)(d \cos \alpha) = d^2 \sin \alpha \cos \alpha \)

4. Используем тригонометрическое тождество для удвоенного угла:
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \)
Следовательно, площадь можно переписать как:
\( S_{\text{прям}} = d^2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2\alpha = \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha \)

5. Таким образом, окончательная формула для площади прямоугольника:
\( S_{\text{прям}} = d^2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha \)