ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 23.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении \(1 : 4\). Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна \(36 \, \text{см}^2\).

1. Площадь прямоугольника:
\( S = AD \cdot BC = 36 \, (\text{см}^2) \)

2. Отношение сторон прямоугольника по условию:
\( \frac{AD}{BC} = \frac{1}{4} \Rightarrow AD = \frac{1}{4} \cdot BC \)

3. Подставляем выражение для \( AD \) в уравнение площади:
\( AD \cdot BC = 36 \Rightarrow \left( \frac{1}{4} \cdot BC \right) \cdot BC = 36 \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot BC^2 = 36 \).

4. Находим значение \( BC \):
\( BC^2 = 36 \cdot 4 = 144 \Rightarrow BC = \sqrt{144} = 12 \, (\text{см}) \).

5. Вычисляем \( AD \) с помощью соотношения \( AD = \frac{1}{4} \cdot BC \):
\( AD = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \, (\text{см}) \).

6. Периметр прямоугольника \( P \) вычисляется как сумма всех его сторон:
\( P = 2 \cdot (AD + BC) = 2 \cdot (3 + 12) = 2 \cdot 15 = 30 \, (\text{см}) \).

7. Таким образом, периметр прямоугольника равен \( 30 \, (\text{см}) \).

1. Определение площади прямоугольника
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:
\(
S = AD \cdot BC
\)
По условию задачи, площадь прямоугольника равна \( 36 \, \text{см}^2 \). Подставляем это значение:
\(
AD \cdot BC = 36
\)

2. Установление пропорции сторон прямоугольника
Условие задачи гласит, что биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении \( 1 : 4 \). Это означает, что стороны прямоугольника пропорциональны этим числам. Пусть \( AD \) — меньшая сторона, а \( BC \) — большая сторона. Тогда их соотношение можно записать как:
\(
\frac{AD}{BC} = \frac{1}{4}
\)
Из этого следует:
\(
AD = \frac{1}{4} \cdot BC
\)

3. Подстановка выражения для \( AD \) в уравнение площади
Заменяем \( AD \) в формуле площади на его выражение через \( BC \):
\(
S = AD \cdot BC = \left( \frac{1}{4} \cdot BC \right) \cdot BC
\)
Упрощаем выражение:
\(
S = \frac{1}{4} \cdot BC^2
\)
Поскольку по условию \( S = 36 \), то:
\(
\frac{1}{4} \cdot BC^2 = 36
\)

4. Решение уравнения для нахождения \( BC \)
Умножаем обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\(
BC^2 = 36 \cdot 4
\)
\(
BC^2 = 144
\)
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
\(
BC = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}
\)

5. Нахождение значения \( AD \)
Используем ранее найденное соотношение \( AD = \frac{1}{4} \cdot BC \):
\(
AD = \frac{1}{4} \cdot 12
\)
Вычисляем:
\(
AD = 3 \, \text{см}
\)

6. Вычисление периметра прямоугольника
Периметр прямоугольника \( P \) — это сумма длин всех его сторон. Формула для периметра:
\(
P = 2 \cdot (AD + BC)
\)
Подставляем найденные значения \( AD = 3 \, \text{см} \) и \( BC = 12 \, \text{см} \):
\(
P = 2 \cdot (3 + 12)
\)
Считаем:
\(
P = 2 \cdot 15 = 30 \, \text{см}
\)

7. Ответ
Периметр прямоугольника равен:
\(
P = 30 \, \text{см}
\)

Каждый шаг решения подробно объясняет, как мы использовали данные условия задачи, чтобы найти стороны прямоугольника и его периметр.