ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 23.4 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь квадрата \(ABCD\) равна \(10 \, \text{см}^2\) (рис. 23.7). Чему равна площадь прямоугольника \(BMKD\)?

1. Площадь квадрата \( ABCD \):
\( S_{ABCD} = AD^2 = 10 \, (\text{см}^2) \Rightarrow AD = \sqrt{10} \, (\text{см}) \)

2. Диагональ квадрата \( BD \):
\( BD = AD \cdot \sqrt{2} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{5} \, (\text{см}) \)

3. Высота треугольника \( BMK \) (отрезок \( BM \)):
\( BM = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{5} \, (\text{см}) \)

4. Площадь прямоугольника \( BMKD \):
\( S_{BMKD} = BM \cdot BD = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 10 \, (\text{см}^2) \)

1. Площадь квадрата \( ABCD \) задана как \( S_{ABCD} = 10 \, (\text{см}^2) \). По формуле площади квадрата \( S = a^2 \), где \( a \) — длина стороны, находим сторону:
\( AD^2 = 10 \Rightarrow AD = \sqrt{10} \, (\text{см}) \)

2. Диагональ квадрата \( BD \) вычисляется по теореме Пифагора:
\( BD = \sqrt{AD^2 + CD^2} \). Поскольку \( AD = CD \):
\( BD = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{10 + 10} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, (\text{см}) \)

3. Точка \( M \) является серединой стороны \( BC \), следовательно, высота треугольника \( BMK \), равная половине стороны \( BC \):
\( BM = \frac{1}{2} \cdot BC \). Так как \( BC = AD = \sqrt{10} \):
\( BM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{5} \, (\text{см}) \)

4. Площадь прямоугольника \( BMKD \) определяется как произведение его сторон \( BM \) и \( BD \):
\( S_{BMKD} = BM \cdot BD \). Подставляем значения \( BM = \sqrt{5} \) и \( BD = 2\sqrt{5} \):
\( S_{BMKD} = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10 \, (\text{см}^2) \)