ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 23.5 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если точка \(E\) — середина отрезка \(AK\) (рис. 23.8), то треугольник \(AKD\) и прямоугольник \(ABCD\) равновелики.

1. Площадь прямоугольника \( ABCD \):
\( S_{ABCD} = AD \cdot BC \)

2. Точка \( E \) — середина отрезка \( AK \), следовательно:
\( AE = \frac{1}{2} \cdot AK \)

3. Площадь треугольника \( AKD \):
\( S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BK \). Так как \( BK = 2 \cdot BE \):
\( S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot BE) = AD \cdot BE \)

4. Сравниваем площади:
\( S_{ABCD} = AD \cdot BC \) и \( S_{\triangle AKD} = AD \cdot BE \). Поскольку \( BE = BC \) (по условию задачи), то:
\( S_{ABCD} = S_{\triangle AKD} \)

5. Таким образом, доказано, что треугольник \( AKD \) и прямоугольник \( ABCD \) равновелики.

1. Площадь прямоугольника \( ABCD \) вычисляется как произведение его сторон:
\( S_{ABCD} = AD \cdot BC \), где \( AD \) — одна из сторон, а \( BC \) — другая сторона.

2. Точка \( E \) является серединой отрезка \( AK \), что означает:
\( AE = \frac{1}{2} \cdot AK \). Следовательно, длина отрезка \( AK \) в два раза больше длины отрезка \( AE \).

3. Рассмотрим треугольник \( AKD \). Его площадь определяется формулой:
\( S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BK \), где \( AD \) — основание треугольника, а \( BK \) — высота, проведенная к этому основанию.

4. Из условия известно, что \( BK = 2 \cdot BE \), где \( BE \) — часть высоты \( BK \), соответствующая половине отрезка \( AK \). Подставляем это соотношение в формулу площади треугольника:
\( S_{\triangle AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot BE) = AD \cdot BE \).

5. Сравниваем площади прямоугольника \( ABCD \) и треугольника \( AKD \):
\( S_{ABCD} = AD \cdot BC \) и \( S_{\triangle AKD} = AD \cdot BE \). Поскольку по условию задачи \( BE = BC \), то:
\( S_{ABCD} = AD \cdot BC = AD \cdot BE = S_{\triangle AKD} \).

6. Таким образом, доказано, что площадь треугольника \( AKD \) равна площади прямоугольника \( ABCD \), то есть они равновелики.