ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 23.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

1. Площадь квадрата \(ABCD\), описанного около окружности:
Сторона квадрата равна диаметру окружности \(2r\). Площадь:
\(S_{ABCD} = (2r)^2 = 4r^2\).

2. Площадь квадрата \(MNKP\), вписанного в окружность:
Диагональ квадрата равна диаметру окружности \(2r\). Сторона квадрата:
\(a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}\). Площадь:
\(S_{MNKP} = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2\).

3. Отношение площадей:
\(\frac{S_{ABCD}}{S_{MNKP}} = \frac{4r^2}{2r^2} = 2\).

4. Площадь квадрата \(ABCD\) больше площади квадрата \(MNKP\) в \(2\) раза.

1. Рассмотрим квадрат \( ABCD \), описанный около окружности. Его сторона равна диаметру окружности, то есть \( 2r \). Площадь этого квадрата вычисляется по формуле:
\( S_{ABCD} = (2r)^2 = 4r^2 \).

2. Теперь рассмотрим квадрат \( MNKP \), вписанный в ту же окружность. Диагональ этого квадрата совпадает с диаметром окружности, то есть также равна \( 2r \). Для нахождения стороны \( a \) квадрата \( MNKP \) воспользуемся формулой связи между диагональю и стороной квадрата:
\( d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2} \).

3. Площадь квадрата \( MNKP \) вычисляется как квадрат его стороны:
\( S_{MNKP} = a^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2 \).

4. Найдем отношение площадей двух квадратов:
\( \frac{S_{ABCD}}{S_{MNKP}} = \frac{4r^2}{2r^2} = 2 \).

5. Таким образом, площадь квадрата \( ABCD \), описанного около окружности, больше площади квадрата \( MNKP \), вписанного в эту окружность, в 2 раза.